El aspecto más positivo de este siglo reside en su aportación científica, aunque no existe especialización. De ahí que una misma persona pueda cultivar diversas ramas del saber.

    El conocimiento es racional y desde el punto de vista metódico. Los métodos discursivos y librescos fueron sustituidos por la observación y la experimentación. En efecto, la ciencia se revolucionó con las ideas del inglés Francis Bacon (1581-1627) sobre la adecuada organización de las ciencias.

    La Química, como ciencia racional, comienza a desprenderse de la alquimia. La generalización de la disección de cadáveres y el descubrimiento del microscopio harán conocer mejor el cuerpo humano.

    La filosofía se hará en el estricto racionalismo y prescindirá no sólo de las creencias escolásticas, sino también de las opiniones de los antiguos filósofos. Es, pues, una rotura con el sistema escolástico basado en Aristóteles y la Revelación.

El Barroco matemático

    Se denominara así al periodo que va desde la muerte de Viète, acaecida en 1603, hasta la fecha del nacimiento del matemático suizo Leonhard Euler, en 1707.

    Durante este periodo se va a crear la Geometría analítica; los números indo-arabigos desplazaran definitivamente a los números romanos; progresará la notación y se inventarán los logaritmos y el cálculo infinitesimal.

    Todos estos progresos harán posibles los de la física.

Progresos científicos

    Las ideas que detallo el inglés Bacon sobre la adecuada organización de las ciencias van a ser utilizadas durante este siglo. Estas ideas consistían básicamente en los pasos siguientes:

1. Había que reunir tantos hechos o datos como fuera posible
2. Disponerlos en orden lógico para formar una hipótesis o teoría
3. La teoría o hipótesis debe comprobarse mediante la experimentación

    En medicina se popularizó la obra "Sobre la estructura del cuerpo humano" del belga André Vésale (1514-1564), en la cual expone, basándose en la disección de cadáveres, unos estudios sobre el cuerpo humano que darían origen a lo que hoy llamamos anatomía.

    Las investigaciones de Malpighi (1628-1694) y de W. Harvey (1578-1675) les conducen, respectivamente al descubrimiento de los capilares en los animales y en el hombre, y cómo circula la sangre por las arterias y venas en el hombre.

    El padre de la citología, esto es el estudio de las células, fue le ingles Robert Hooke (1635-1703), el cual comprobó que las plantas se componían de diminutas unidades. A partir de este descubrimiento se originaría en el siglo XIX la teoría celular.

    El holandés A. Leeuwenhoek (1632-1723) encontró las bacterias e investigó la estructura de los vegetales y de los animales.

    En 1680, el inglés Isaac Newton enuncia la Ley de Gravitación Universal.

    El italiano Galileo Galilei, quien inventó el termómetro y desarrolló el telescopio y el microscopio propone su teoría sobre la caída de los graves.

    El francés Blaise Pascal, escribió dos tratados, uno sobre el equilibrio de los líquidos en el cual expone el principio que lleva su nombre y que dice: Toda presión ejercida sobre un líquido es transmitida íntegramente a todos los puntos de su masa y actúa perpendicularmente sobre las paredes que lo contienen; y el otro sobre el peso de la masa de aire.

    El inglés Robert Boyle, quien, además de iniciar en química el empleo del tornasol, perfeccionó la máquina neumática y formuló la ley que lleva su nombre unido al del francés Mariotte, y que dice: La presión de una masa fija de un gas por el volumen que ocupa es una constante para cada valor de la temperatura.

    El alemán Otto von Guericke inventó la máquina neumática, una balanza para pesar el aire, un barómetro, una máquina electrostática y realizó el célebre experimento de acoplar por los bordes dos hemisferios huecos de cobre e hizo el vacío en la esfera resultante intentando separarlos por tracción, lo que no consiguió pese a haber enganchado varios caballos a cada uno. Sin embargo, al abrir la llave para que entrase el aire se separaron ambas piezas sin el menor esfuerzo.

    El italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) expuso la regla que lleva su nombre para calcular la velocidad de salida de un líquido por el orificio de un vaso; inventó el barómetro de cubeta, creando por primera vez un vacío absoluto en el tubo barométrico.

Mecánicas para acelerar el trabajo de cálculo

    Uno de los medios de que se valió el hombre para hacer sus cálculos fue el ábaco. Desde los tiempos más antiguos esta invención se transmitió de civilización en civilización. Todavía hoy, el ábaco es un computador muy corriente en algunos pueblos de Asia, en donde no es muy difícil encontrar personas que calculan más de prisa que los oficinistas con las máquinas calculadoras.

    Durante el siglo XVII fue muy popular el invento del escocés John Neper (1550-1617) para multiplicar, conocido como rodillos de Neper. Pero mucho más importante para la matemática fue lo que hoy conocemos con el nombre de Logaritmos. Un logaritmo es el exponente a que hay que elevar un número para obtener otro número. Al familiarizarse con ellos se abrevian considerablemente los cálculos de productos, cociente, potencias, raíces y operaciones combinadas de las anteriores. Esta fue la intención de Neper, el mismo que empleó por primera vez la coma decimal.

    Antes de publicar sus resultados, es posible que reflexionara sobre las sucesiones de las potencias de un número. En estas es evidente que los productos o cocientes de las potencias corresponden, respectivamente, a las sumas o diferencias de los exponentes de las mismas potencias.

    Al parecer, lo que animó a este escocés a publicar en 1614 su obra Descripción de la maravillosa regla de los Logaritmos fue el tener noticia del método de la prostafaireses, muy utilizado en los cálculos astronómicos.

    En esencia, Neper, mostró que todo número puede expresarse en términos del número 10, elevado a tal o cual potencia. Es decir, de la misma manera que 1000 = 10³, 2 es 10^0.3010300.

Debido a su avanzada edad, no pudo llevar a la práctica sus ideas, que fueron recogidas por Henry Briggs (1561-1639), quien comenzó a partir de la igualdad log 10 = 1 y después fue calculando otros logaritmos tomando raíces sucesivas: Por ejemplo, de , obtiene Briggs que log 3.162277 es 0,5.

    Calculando de esta manera halló otros logaritmos decimales de los números del 1 al 1000, con catorce cifras decimales, que además de gozar de las propiedades generales de los logaritmos, cumplen que solamente las potencias enteras de 10 tienen logaritmo entero; los restantes números tienen un logaritmo compuesto de una parte entera, llamada característica, y otra decimal, llamada mantisa.

    Mientras Briggs se ocupaba de dichas tablas, John Speidell calculaba los logaritmos naturales o neperianos de las funciones trigonométricas. Este sistema de logaritmos, que tienen por base el numero "e", aparecen publicados en la obra de Speidell titulada Nuevos Logaritmos y que fue publicada en 1619. No obstante, anteriormente ya habían aparecido algunos logaritmos naturales en la traducción de la obra de Neper, hecha por E. Wright en 1616.

    Conviene poner en manifiesto que si bien es cierto que John Neper fue el primero en publicar la idea de logaritmo, también lo es que el mismo tiempo en esa idea trabajaba en forma independiente el suizo Jobst Bürgi.

    Otra de las maravillas mecánicas para acelerar el trabajo del cálculo durante este siglo es la fantástica máquina inventada por Blaise Pascal, quien además hizo algunos aportes importantes a la matemática.

El progreso Notacional

    El simbolismo matemático ha ido evolucionando a lo largo del tiempo.

    La operación de dar el oportuno símbolo a un ente, o una relación o combinación entre ellos se lama Notación.

    Durante este siglo XVII, fue introducido el signo de x para la multiplicación por el clérigo inglés William Ouglthed (1574 - 1660) y el flamenco Simon Stevion (1548 - 1620), el mismo que popularizó la utilización de las fracciones decimales mediante su obra Décimo o De Thiende, impresa en 1585, formuló el convenio de que 1/3 dentro de un círculo significaría una raíz cúbica y que 3/5 en un círculo representaría la raíz quinta del cubo.

    Descartes popularizó el símbolo = de Recorde y utilizó x² en vez de xx.

    John Wallis utilizó el signo para designar el infinito.

    No obstante, el mayor creador de notación es Leibniz, quien propuso el símbolo para la integral. Que es una s alargada inicial de la palabra suma, dx y dy para diferenciales o diferencias más pequeñas posibles. Además es el primer matemático relevante que emplea el signo · y : para multiplicar y dividir; el signo ~ para designar "semejante a" y para "es congruente con"

Un gran pensador: René Descartes (1596 - 1650)

    La gran influencia de los jesuitas en el barroco fue muy grande y se manifestó igualmente en el terreno del pensamiento y la educación que en el del arte y la literatura.

    En la enseñanza, los jesuitas no querían formar monjes alejados del mundo, sino laicos que sirvieran fielmente a la Iglesia, lo cual motivó su empeño en instruir el las ciencias profanas, adaptándose de esta forma al espíritu de la época. En sus cuadros de enseñanza figuraban el estudio fundamental de los idiomas y de los escritores de la antigüedad, las Matemáticas, la Teología y la Filosofía. Toda esta serie de conocimientos, se armonizaba en los discípulos de los jesuitas.

    En el colegio de jesuitas de La Flèche, se educó el francés René Descartes, quien en 1616 se licencia en derecho por la Universidad de Poitiers.

    No satisfecho con los conocimientos adquiridos e independiente en su posición económica, Descartes cerró los libros para dedicarse el estudio del mundo. Después de probar brevemente la vida en sociedad, concretamente la parisina, se convierte en soldado en 1617.

    Mientras fue soldado se convenció de que el mundo necesitaba una fórmula que disciplinara el pensamiento racional y unificara el conocimiento. En ninguna parte encontraba descartes la seguridad y certeza de los resultados que perseguía, sólo las matemáticas colmaban semejante aspiración. Por eso, él mismo dice: "Cuando era soldado, pasaba la mayor parte del tiempo con la cabeza y las orejas en el estudio de las matemáticas."

    Esta rama del conocimiento le gustaba, debido a la certidumbre de sus pruebas y a la evidencia de sus razonamientos.

    Esta visión de Descartes originó la doctrina de que todo conocimiento, tanto pasado como futuro debía elaborarse en términos de razonamiento matemático. De este modo es como descartes propone a los intelectuales contemporáneos que dejaran de fiarse tan ciegamente de las ideas antiguas y empezaran de nuevo a tratar de explicar la Naturaleza a través de un esquema científico deductivo.

    Esta filosofía la explicitó en una publicación que después la suprimió como deferencia a su fe católica, ya que suscribía con ellas las ideas de Copérnico en torno al Universo.

    A causa de que París no le ofrecía el reposo necesario para recoger sus pensamientos, en 1629 se retira a Holanda. Allí vivirá veinte años. En 1637, publicó su Discurso del Método para dirigir correctamente la razón, conocida también como el Método. Esta obra, que será fundamental en la filosofía, lo situará como uno de los grandes pensadores del Barroco. No obstante, su filosofía despertó, en los partidarios de la doctrina medieval un odio que se transformó muy pronto en prohibiciones y persecuciones personales. Debido a ello y a una invitación de la Reina Cristina de Suecia, abandonó su residencia de los países bajos y se trasladó a Estocolmo en 1649.

    Debido a la crudeza del clima y a su débil salud, enfermó y falleció en 1650 en esa misma cuidad.

Las reglas cartesianas para una buen método

    Los filósofos griegos se habían preguntado por la posibilidad y naturaleza de nuestro conocimiento, pero predominantemente estas cuestiones tenían para ellos, así como para los filósofos medievales, un matiz ontológico: al preocuparse del problema de conocer, cuyos polos son el sujeto que conoce y el objeto conocido, se fijan más en el segundo que en el primero.

    La filosofía moderna se centra en el sujeto cognoscente. Aunque el interés por este problema comienza con Descartes, Leibniz, Loake, Berkeley, Hume y algún otro, solo tomará casi exclusivismo con Immanuel Kant, como veremos más adelante.

    Descartes quiere construir una ciencia sobre las cosas que sean absolutamente ciertas, una filosofía en la que no quepa ninguna duda, para ello debe utilizar un método (del griego: camino). Nosotros la podemos definir, aquí, como el camino que conduce nuestra inteligencia a la verdad.

    Descartes da cuatro reglas para un buen método :

1. Partir de principios claros y evidentes.
2. Dividir cada una de las dificultades que se examinan, en cuantas partes sea posible.
3. Conducir ordenadamente los pensamientos, empezando por los objetos más simples para ascender hasta el conocimiento de los más compuestos.
4. Hacer revisiones generales para estar seguro de no omitir nada.

La Géométrie

    Descartes concluyo su obra con tres ejemplos concretos sobre como podía ser aplicado. Los dos primeros pretendían explicar el comportamiento de las lentes y el movimiento de los astros. El tercero, un extenso apéndice de 106 páginas fue La Géométrie.

    Aunque La Géométrie es un tratado teórico sin ninguna intención práctica, jugará un papel trascendente en el futuro de las matemáticas. Su influencia originará la geometría analítica, cuyos problemas fundamentales son:

1. Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa.
2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.

    En esencia, la geometría analítica consiste en la aplicación del álgebra al análisis geométrico mediante el establecimiento de ciertos convenios, fundamentalmente la creación de un sistema de coordenadas que permite individualizar cada punto por un par de números para la geometría analítica plana y por tres números para la geometría analítica del espacio.

    A partir del concepto de coordenadas, esta nueva rama matemática dará a los matemáticos un nuevo enfoque para el tratamiento de la información matemática.

    La geometría analítica transformará todo el conocimiento antiguo de forma tal que ramas del conocimiento matemático que parecías diferentes, como la trigonometría y los logaritmos, las absorbió y les dio un alcance más completo. Gracias a su desarrollo derivara un concepto fundamental para las matemáticas, como es la idea de funciones y variables, las cuales tendrán, también, una gran utilidad para la experimentación. El científico experimental puede transformar los resultados de una experiencia en una ecuación y después representarla o viceversa. Si después al repetir la anterior experiencia con mucho cuidado para que las condiciones no varíen, obtiene la misma ecuación, puede llegar a formular una ley que puede interpretarse por medio de palabras e ideas. Una vez enunciada dicha ley, puede combinarla con otras fórmulas para sugerir nuevas posibilidades.

    Además , la geometría analítica, al permitir una gran amplitud de puntos de vista, no sólo dará buenos resultados en otras ramas matemáticas, como por ejemplo la geometría proyectiva, sino que será responsable en buena parte del origen de la rama matemática que conocemos hoy con el nombre de análisis, la cual abarca gran parte de las matemáticas inventadas desde la época de Descartes, y que en su aceptación más general comprende la aritmética. El álgebra, el cálculo infinitesimal (diferencial e integral), la teoría de funciones reales y complejas, así como la teoría de las ecuaciones diferenciales.

    Por ultimo, se debe poner en manifiesto que la Géométrie tenía dos inconvenientes, a saber: Había sido publicada en francés y, además era una obra de difícil comprensión para la mayoría de los contemporáneos de Descartes, debido a que éste omitió en ella muchos detalles elementales.

Evolución de la Geometría Analítica

    Los inconvenientes señalados fueron superados cuando el profesor de matemáticas holandés Frans van Schooten (1615 - 1660) hizo imprimir, en 1649 una versión en latín de La Géométrie, ampliada con unas aclaraciones tales como las demostraciones realizadas por Debeaune de que las ecuaciones y² = xy + bx; y² = 2dy + bx; y² = bx - x², representan, respectivamente, hipérbolas, parábolas y elipses.

    Esta obra titulada Geometría por René Descartes volvió a aparecer en 1659 en una segunda edición nuevamente ampliada con la obra de Jan Witt (1629 - 1673) titulada Elementa curvarum, en la que reduce todas las ecuaciones de segundo grado e x e y a formas canónicas.

    Pero sin lugar a dudas, uno de los que más contribuyeron en la evolución de la geometría analítica fue el mejor discípulo de Schooten, es decir, Christian Huygens (1629 - 1659), el cual al hallar los puntos máximos y mínimos y el punto de inflexión logro ser uno de los primeros en dibujar una curva correctamente.

    El interés de Huygens por los relojes de péndulo le condujo a hacer investigaciones sobre la involutas y evolutas. Las cuales aparecen expuestas junto a importantes resultados de mecánica en su obra Horolagium Oscillatorium, publicada en 1673 y que tendrá una cierta influencia en la obra Los Principia de Newton.

    Otra contribucion muy importante fue la del francés Pierre Fermat (1601 - 1665) con su obra titulada Introducción al los lugares geométricos planos y sólidos, que no fue publicada en vida de su autor, pero que circuló en forma manuscrita.

    En ella, emplea Fermat una geometría analítica más próxima a la que utilizamos en la actualidad que a la de Descartes. No obstante, al igual que Descartes, no utiliza abcisas negativas e intuye la posibilidad de una geometría analítica de más de dos dimensiones.

    Si a Schooten se le suele considerar como el impulsor de la geometría analítica en el continente europeo, el Inglaterra lo fue el catedrático de Geometría de Oxford John Wallis (1616 - !703), quien en 1655 publicó Tractary de Sectionibus Conics, en la que da la definiciones de la elipse y de la parábola como lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de segundo grado con dos variables y además reemplaza sistemáticamente los conceptos geométricos por los aritméticos.

    En 1691, en la revista Acta eruditorum aparece un trabajo del suizo Jacques Bernoulli (1654 - 1705), en el que utiliza las coordenadas rectangulares y polares.

La geometría proyectiva

    La parte de la geometría que estudia las propiedades que se conservan en una proyección se denomina geometría proyectiva. El iniciados de esta rama fue el francés Girad Desargues (1591 - 1661), quien en 1639 publica su obra Borrador de un ensayo que trata de los encuentros de un cono con un plano. En esta obra Desargues aceptó la idea de Kepler de que la parábola tiene un foco en el infinito y que dos rectas se cortan en el infinito. Un cilindro, por ejemplo, es para Desargues un cono cuyo vértice está en el infinito.

    Partiendo de las ideas de la perspectiva del arte renacentista de que las formas y los tamaños aparentes cambian según cambia el plano de incidencia que corta al cono de los rayos visuales, Desargues observó la existencia de propiedades que permanecen invariables bajo tales cambios y estas son las que estudiará la geometría proyectiva. Es decir, si desde un punto exterior trazamos rectas que unan este punto a una recta, curva, plano o superficie y cortamos estas rectas por una plano, la geometría proyectiva estudiará las propiedades de los puntos de corte.

    Este tipo de geometría que no se interesa por las distancias entre puntos ni por los ángulos entre rectas o planos, sino por las posiciones relativas de estos elementos en el espacio, no fue aceptada por los matemáticos de la época, al considerarla sin sentido.

    Por los tanto, las ideas de Desargues no recibieron una buena acogida y quizá influyo mucho en ello que su alumno con más porvenir en la matemática, Blaise Pascal, abandonó a finales de 1654 las matemáticas por la teología, y sólo volverá a los estudios matemáticos durante un periodo muy breve, entre 1658 y 1659.

Blaise Pascal (1623 - 1662)

    Pascal fue una matemático francés muy precoz, ya que a los 16 años había publicado la obra titulada Ensayo de Cónicas, en donde cita a Desargues como fuente de inspiración. A la edad de 18 años cambió de actividad y diseñó su maquina calculadora.

    En 1648 trabajó en la hidrostática, posteriormente volvió a escribir una obra completa sobre las cónicas, pero no llego a publicarla.

    Además de estas contribuciones, participó en la fundamentación de las bases del cálculo de probabilidades, a tratar posteriormente.

Los infinitesimales

    A finales del siglo XVI y sobre todo durante el siglo XVII, los matemáticos para resolver problemas prácticos recurren aisladamente al razonamiento sobre lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande, pero raras veces a través de las rigurosas pruebas griegas. Así, por ejemplo, el ya citado Stevin, en su obra Estática, publicada en 1586, demuestra donde está situado el centro de gravedad de un triángulo mediante su división en un conjunto de fajas infinitamente estrechas.

    También Fermat, en su obra Metodo para hallar máximos y mínimos, expone un procedimiento que consiste en cambiar ligeramente el valor de las variables para considerar valores próximos a uno dado. A pesar de que Fermat no disponía del concepto de límite, utiliza un camino muy similar al que utilizamos actualmente para este tipo de problemas. Además, Fermat, también utilizó los infinitesimales para calcular el área bajo una curva por medio de la división de la misma en rectángulos.

    El alemán Johan Kepler (1571 -1630) utiliza los infinitesimales no únicamente para calcular el volumen de las cubas de los vinateros, sino también para resolver problemas relativos a áreas.

    Para el italiano Galileo Galilei (1554 - 1642) lo infinitamente pequeño tenía gran importancia, pues lo necesitaba para su dinámica, en sus obras ya sugería el principio general: una ecuación en la que intervienen infinitésimos de orden superior pueden despreciarse por que no afectan al resultado final. Su intención de escribir una obra sobre le infinito en Matemática no lo llevo a cabo él sino su discípulo Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), quien publica en 1635 su obra Geometría Indivisibilis Continuorum, en que la idea fundamental es la de considerar el área formada por segmentos rectilineos o indivisibles y un volumen sólido como un compuesto de secciones indivisibles. Esta obra de Cavalieri va a facilitar enormemente el problema de las cuadraturas de las curvas - cálculo de la superficie comprendida entre el eje de abcisas un arco de curva u loas dos ordenadas que lo limitan - ya que en ella expone el teorema geométrico que viene a ser el resultado moderno de .

Teoría de Números

    El fundador de la moderna teoría de números, rama de la matemática que estudia las propiedades de los números, fue el francés Pierre Fermat, quien no era una matemático profesional, sino un jurista, y su amplia participación en las matemáticas de su tiempo se realizó casi por completo a través de correspondencia con otros estudiosos.

    Al estudiar la obra Aritmética de Diofanto, muchos de los aspectos de dicha obra le fascinaron, incluidos los números perfectos y amigos, las ternas pitagóricas, los números primos y al divisibilidad. Esta obra fue comentada por Fermat con numerosas notas al margen y tras su muerte, su hijo publicó una edición de la aritmética, incluyendo las anotaciones de su padre. Una de estas notas ha llegado a ser uno de los más famosos enunciados de toda la historia de las matemáticas, es decir, fue el célebre y último teorema de Fermat, que dice que cuando n es mayor que 2, no existe ninguna solución de la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ , formada exclusivamente por números enteros. Este teorema que Fermat afirmaba poder demostrar, sigue siendo una de los grandes problemas no resueltos, aunque se han hecho progresos importantes. Ha tenido una gran influencia en el desarrollo de la teoría de los números, ya que el intento de demostrarlo ha contribuido a la solución de muchos otros problemas.

Cálculo de Probabilidades

    Hay fenómenos que siempre se repiten de la misma forma, por ejemplo: siempre que se deja caer una piedra desde lo alto de una torre cae al suelo con la misma velocidad. Al calentar una barra de metal, el mismo numero de grados aumenta su longitud en igual cantidad.

    Estos tipos de fenómenos se llaman deterministas.

    En todos estos casos es posible encontrar una ley matemática que relacione las causas con los efectos producidos.

    Pero hay otros fenómenos que, aún realizándose siempre en las mismas circunstancias, dan lugar a resultados diferentes; por ejemplo, lanzar una moneda al aire o echa un dado. En ninguno de estos casos se ha podido encontrar las causas que determinan el resultado, por lo que se dice que son debidos al azar.

    A tales fenómenos se les denomina aleatorios, del latín aleaae = suerte, y a cada uno de los resultados posibles que puede tener cada uno de estos fenómenos se le denomina suceso.

    El cálculo de probabilidades se inspiro en las preguntas de los jugadores que buscaban información para ganar en las cartas o en los dados.

    Tanto Tartaglia como Cardano ya habían hecho un sagaz análisis de los problemas del juego, pero sus obras fueron olvidadas en gran parte.

    Alrededor del año 1651, el caballero De Mère propuso a Pascal algunos problemas como el siguiente: En una partida de dados intervienen dos jugadores y apuestan 32 doblones de oro cada uno,, así mismo elige cada uno un número distinto. Gana el juego el primero que le salga tres veces, el tiradas alternativas, el número que previamente ha elegido. Después de un rato de juego, el número elegido por el primer jugador ha salido 2 veces y el del otro solo una vez. En ese instante, la partida debe suspenderse. ¿Cómo dividir los 64 doblones de oro apostados?

    En la correspondencia que siguió a este problema, tanto Pascal como Fermat estuvieron de acuerdo en que el primer jugador tiene derecho a 48 doblones.

    Precisamente de las investigaciones que Pascal y Fermat hicieron sobre las distintas situaciones del juego d dados, surgirán las bases del cálculo de probabilidades, que tanto va a influir en aspectos muy diversos de la vida moderna.

    El holandés Christian Huygens, que publicó en 1657 un breve tratado titulado Sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados, fue quien primero se inspiro en la correspondencia de Pascal y Fermat. Sin embargo, el primer tratado importante sobre la teoría de las probabilidades fue el Arte de la Conjetura, de Jacques Bernoulli: en este trabajo se reproduce el tratado de Huygens y además contiene el teorema conocido como teorema de            Bernoulli, que en un lenguaje actualizado dice que , o sea en la que p es la probabilidad, n es el numero de veces que se ha presentado el suceso al hacer h experimentos y e > 0, es decir e es un numero positivo arbitrariamente pequeño.

    La generalización del teorema de Bernoulli originará la ley de los Grandes Números, que se puede enunciar: La probabilidad de que la media de una muestra difiera de la media de la población en una cantidad menor o igual a e tiende a cero cuando n ® 8 por pequeña que       elijamos e ³ 0. Y se escribe .

    Conviene poner de manifiesto que de la misma manera que muchos conceptos, a lo largo de la historia de la matemática, han surgido por la observación de objetos del mundo físico, también en el cálculo de probabilidades, el concepto físico o experimental de frecuencia de un suceso dentro de una experiencia aleatoria le corresponde el concepto teórico de probabilidad de un suceso.

El análisis combinatorio

    Actualmente, la combinatoria, o el análisis combinatorio, tiene por objeto el estudio de los distintos agrupamientos y ordenaciones que pueden recibir los elementos de una conjunto, prescindiendo de la naturaleza de los mismos. Las cuestiones que se suele considerar son las siguientes: Las variaciones, las variaciones con repetición, las combinaciones, las combinaciones con repetición, las permutaciones y las permutaciones con repetición.

    El origen de esta rama de las matemáticas se remonta a los trabajos de Pascal y Fermat, pues ambos, al fundamentar el cálculo de probabilidades, vuelven a encontrar la expresión y Pascal es el primero en observar la relación existente ente restos números y la fórmula del desarrollo de un binomio.

    La expresión n! que utilizamos hoy para representar el producto de todos los números naturales desde n hasta 1, ambos incluidos es muy similar a la expresión m!! que empleo John Wallis para representar el producto m(m-1)… que termina en 1 o 2 según sea m impar o par.

    De la combinatoria también se ocupo el alemán G. W. Leibniz (1646 - 1716) en su obra Disertatio de Arte Combinatoria, publicada en 1666. Sin embargo, el mayor impulsor de esta rama durante el siglo XVII fue Jacques Bernoulli, quien en su obra, ya mencionada, incluye una teoría general de permutaciones y de combinaciones que viene facilitada por el teorema binomial y multinomial.

    Precisamente en esta obra, aparece la primera demostración correcta del teorema binomial para  exponentes enteros y positivos: El desarrollo del cálculo de probabilidades será decisivo para originar lo que hoy conocemos como Estadística Matemática.