Los egipcios buscaron en sus investigaciones, exclusivamente, la
aplicación utilitaria de la matemática y, probablemente, de ahí
que entre ellos se haya desarrollado considerablemente.
En Egipto se
empleo el sistema decimal. Su año civil se componía de 12 meses
de 30 días cada uno a los que se agregaban 5 días adicionales. También
se introdujeron los años bisiestos de 366 días y su día y noche
tenían, cada uno, 12 horas.
Sabían que
el sol se desplaza en un circulo inclinado con respecto al ecuador.
Conocían, asimismo, las estaciones del año y tampoco ignoraban los
dos movimientos del Sol: el diurno y el anual.
En lo referente
a las construcciones, estas presentan una técnica notable, en las
cuales los arquitectos de esa época aplicaron las propiedades geométricas
de las figuras.
Un papiro encontrado
hace mucho tiempo, llamado Papiro Rhind ( o papiro de Ahmés). Es
tal vez uno de los documentos escritos más antiguos que poseemos,
pues tiene cerca de 4000 años. Se le considera como el primer tratado
de Matemáticas que se conoce. El escrito comienza así: "Introducción
para llegar al conocimiento de las cosas difíciles, de todos los
secretos que están contenidos en las cosas
". Su autor,
Ahmes fue un sacerdote que vivió probablemente entre los años 2000
y 1700.
En realidad,
se puede considerar este papiro como un tratado de aritmética. Una
especie de "Manual del calculista". Tiene partes teóricas,
en particular sobre las progresiones, y da ejemplos de problemas
algebraicos que llevan a ecuaciones de primer grado. En buenas cuentas,
no da ningún método para resolver los problemas sino que, solamente,
se encuentran sus soluciones.
No se ve en
ellos un procedimiento deductivo sino, únicamente, muestran una
especie de tablas o recetas para resolverlos. Así, por ejemplo,
aparece en el papiro mencionado la costumbre egipcia de expresar
toda fracción en una suma de fracciones de numerador la unidad.
De esta forma, aparece la fracción 2/47 descompuesta de la siguiente
forma
2/47 = 1/30 + 1/141 + 1/470
Es necesario
hacer notar que ellos no escribían 2/47 sino que la descomposición
anotada. Esto nos induce a pensar que tenían el concepto de solo
una parte alícuota (1/47) pero no de dos (2/47). Aparece una serie
de fracciones de esta forma, algunas son correctas y otras falsas.
No había, por supuesto, un procedimiento general para hacer estas
descomposiciones sino que, sin duda, se ha procedido solo por tanteos.
Contiene el
papiro una tabla que da la descomposición de todas las fracciones
de la forma 2/(2n-1) siendo 1< n < 49. Es decir todas las
fracciones de denominador impar desde 2/3 hasta 2/97.
Sin lugar a
dudas es este, para nosotros, un problema interesante: ¿Cómo descomponer
una fracción en una suma de fracciones de numerador 1, sin que se
repita el mismo denominador?
Aparecen también
en el papiro, multiplicaciones, pero usando sólo la tabla del dos.
Por ejemplo, suponiendo que se trate de multiplicar 15 por 5, el
desarrollo egipcio sería el siguiente:
15 · 2 = 30
30 · 2 = 60
+15 = 75
Se observa
que esta operación se reduce a una simple duplicación y a adiciones
sucesivas.
Por otro lado,
presenta una especie de álgebra de aspecto muy pintoresco, existiendo
una serie de símbolos para representar a los actuales. En efecto,
se encuentra que nuestros signos + y estaban representados
por dos piernas en actitud de caminar y dirigidas hacia la derecha
e izquierda, respectivamente. Hay en esto, pues, un principio de
dirección, de un sentido geométrico. El signo de la incógnita estaba
representado por un montón o bien por un ibis escarbando el suelo.
La igualdad estaba representada por ³ , o por un escarabajo, símbolos
del devenir. Ahora, el símbolo indicado significa "mayor o
igual".
Los números
tienen también sus representaciones por medio de figuras.
Un problema
que aparece resuelto en el papiro, junto con otros es el siguiente:
"Dividir cien panes entre cinco personas, de modo que el séptimo
de la parte de las tres primeras sea igual a la parte de las otras
dos. ¿Cuál es la diferencia?
Sin duda que
con la falta de claridad de este problema es imposible o demasiado
fácil resolverlo. Sin embargo, el papiro dice que la diferencia
es 5 ½ y que a cada persona le toca 23, 17 ½, 12, 6 ½ y 1. La suma
de estos números es 60; pero si agregamos 2/3 a cada una de ellos,
se obtiene la solución pedida. Notemos que estos números están en
progresión aritmética, cuya diferencia es 5,5. Ahora bien, puede
ser que debido a la influencia babilónica con su sistema sexagesimal,
el problema haya sido "dividir 60 panes" y no 100 panes.
La misma solución que se da al problema: 23 + 17 ½ + 12 + 6½ + 1
= 60; induce a pensar de esta forma.
El anunciado
correcto de este problema sería: "Determinar cinco términos
de una progresión aritmética cuya suma sea 100, de modo que 1/7
de la suma de los 3 primeros sea igual a la suma de los otros dos
términos de la progresión."
La resolución
algebraica, siendo x el primer termino y q la razón, sería:
x + (x + q) +(x + 2q) +(x + 3q) + (x
+ 4q)=100
Reduciendo
queda la ecuación x + 2q = 20 (a)
Por otra parte,
debe verificarse que (3x + 3q)/7 = 2x + 7q ; de donde 11 x + 46q=
0. (b)
Resolviendo
el sistema formado por las ecuaciones (a) y (b) se obtiene como
primer termino x=381/3 y para la razón 9 1/6. Resulta una
progresión aritmética decreciente cuyos términos son 38 1/3, 29
1/6, 20, 10 5/6, 1 2/3; que es también a lo que se llaga agregando
2/3 a los números que indica el papiro.
Algunos creen
ver en la solución de Ahmes la aplicación del método llamado "de
la falsa suposición", y de ser así, habría sido el primero
en emplearlo.
Otra ecuación
sencilla de primer grado que aparece es "El montón más su tercio
da 19", esto es: x +x/3 = 19.
También aparecen
ecuaciones del tipo a/b x = c, que Ahmes las resolvía por el método
de la falsa suposición.
De lo expuesto
hasta ahora, se observa que los adelantos egipcios a pesar
de todo- eran muy rudimentarios. Todo lo han hecho por tanteos,
no se ve ningún estudio racional y metódico. Mucho menos, existe
en ellos el método deductivo estricto.
Fuera de esto,
el papiro Rhind contiene una parte geométrica. Según Herodoto, los
egipcios se especializaron en Geometría debido a que cada año debían
rehacer las parcelaciones de las partes que el río había inundado.
Por lo demás,
las fórmulas que aparecen en este papiro son solo aproximadas. Se
toma en cuenta la forma de las figuras, rectilínea o circular, y
la longitud de las lineas que la limitan.
Las figuras
que aquí se encuentran limitadas por rectas son, en su mayoría,
triángulos rectángulos, triángulos equiláteros y trapecios isósceles.
Una de las
formulas que da referente al triangulo isósceles de lado a y base
c es su área S =ac/2.
Para un trapezoide
de lados a, b, c y d aparece la formula S = (a+c)/2 · (b+d)/2. Pero
esta formula es exacta cuando el trapezoide se transforma en un
rectángulo.
Para la superficie
del circulo se encuentra la expresión S = (8/9 d)2, siendo
d el diámetro. Si en esta fórmula se expresa el diámetro en función
del radio, obtenemos S=256/81 r2 , la cual implica el
valor 256/81 para nuestro p , que da aproximadamente 3,1604. La
formula dada por los egipcios es empírica y puede decirse que, prácticamente
tiene el mismo valor de la que usamos nosotros.
Asimismo, se
encuentran en el papiro la resolución de otros problemas que se
basan en la semejanza de figuras.
Se sabe, además
que las parcelaciones eran rectangulares y que, por lo tanto, tenían
la necesidad de trazar ángulos rectos. Para este fin, se valían
de un instrumento especial que consistía en un triangulo rectángulo
hecho de cordeles, el cual les permitía construir perpendiculares
en el terreno. Los lados de este triangulo estaban en la razón 3:4:5.
En un cordel, ellos aplicaban a partir de un punto tres veces cierta
magnitud cualquiera, y hacían un nudo; enseguida, la aplicaban cuatro
y después cinco veces, haciendo cada vez un nudo. Según lo dicho,
se podría pensar que ellos conocían el Teorema de Pitágoras, pero
la verdad es que no se tiene ni se ha encontrado entre ellos un
triangulo rectángulo que este construido por otros lados que no
sean los mencionados anteriormente. En consecuencia, no cabe duda
que el triangulo rectángulo que usaron lo encontraron por experiencias,
prácticamente. Los especialistas en el manejo de esta cuerda con
nudos eran los Harpedonautas, que corresponden a los agrimensores
o literalmente a los "estiradores de cuerda".
Aparecen también,
en este papiro, problemas sobre el calculo de alturas de pirámides,
mediante procedimientos gráficos. Por ejemplo, para el caso de una
pirámide triangular, de la cual al conocerse sus caras puede determinarse
su altura: separaban las caras y las colocaban en un plano.
Fuera del papiro
mencionado, se ha descubierto otro que data del siglo XVIII a.C.
Se conserva en Moscú y su estudio no está completamente terminado
aún. En él se encuentran datos más completos acerca de la antigua
geometría egipcia. Así, se encuentra un enunciado según el cual
la superficie de un hemisferio es igual al doble de la superficie
del circulo máximo que lo limita.
También aparece
una expresión exacta para el volumen de un tronco de pirámide de
bases cuadradas.
Fueron estas
propiedades geométricas las que utilizaron los antiguos arquitectos
egipcios en la construcción de sus monumentos y en el trazado de
bóvedas, cúpulas, etc.
El valor de
p =4/sqrt(k) donde k es el número áureo fue utilizado (probablemente
de modo inconsciente) por los egipcios, en la construcción de la
gran pirámide de Kheops. Es, en efecto, cierto que quisieron que
las caras de la pirámide estuvieran formadas por las dos mitades
de un rectángulo áureo; pero esta elección determinaba la altura
total del monumento. Un arqueólogo demasiado entusiasta, que buscaba
por todas partes mensajes científicos en la famosa tumba, observo,
jugando con los números que había acumulado, que el perímetro de
la base era aproximadamente el de un circulo de radio igual a p
. De esta coincidencia era imprudente decir que se trataba de una
cuadratura aproximada del circulo, por otra parte, muy buena, realizada
por los sabios faraones como testimonio de su ciencia.
De lo dicho
se desprende que la geometría, entre los egipcios, no tuvo partes
teóricas sino que fue puramente empírica. No aparece en ninguna
parte el razonamiento deductivo. De ninguna manera puede considerarse
esto como una critica muy dura para ellos, puesto que es una etapa
natural por la que ha tenido que pasar el intelecto humano. |