Dado un espacio vectorial E de dimensión finita n > 0 sobre un cuerpo conmutativo K y dadas dos bases de dicho espacio B₁ = (e₁, e₂, ...,e_n), B₂ = (u₁, u₂, ...,u_n), se llama matriz de cambio de base de B₁ a B₂ a la matriz asociada a la aplicación identidad de E respecto a las bases B₂ y B₁ (nótese el orden). Las columnas de esta matriz corresponden a las componentes de los vectores de la base B₁ en la base B₂.

camino

Sea E un espacio topológico. Un camino en E es toda aplicación continua f del intervalo unidad real [0,1] en E. El punto f(0) se llama origen del camino y el punto f(1) extremo o final. Cuando para cada par de puntos de un espacio topológico existe la posibilidad de construir un camino de E que tenga por origen a uno de ellos y por final al otro, se dice que el espacio topológico E es arcoconexo.

campana, curva de

Es la curva que corresponde al gráfico de la función de densidad de Gauss.

campo de vectores

Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial E. Toda aplicación de una parte S de A con valores en E se llama campo de vectores.

canónico

Recibe el nombre de canónico todo ente matemático asociado de manera especial con una estructura.

Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Phillip

Matemático ruso-alemán (San Petesburgo, 1845-Halle, 1918). Estudio en Zurich, Berlín y Götingen y recibió el título de doctor en la universidad de Halle, en la que obtuvo la cátedra de matemáticas. Los primeros trabajos que publicó sobre la teoría positiva del infinito causaron una verdadera revolución. Siguió trabajando en el tema hasta crear una aritmética de los números infinitos y su célebre teoría de conjuntos ha servido de base para el análisis moderno. Sus teorías encontraron una fuerte oposición entre los matemáticos de su época.

Cantor, teorema de

Sea E un conjunto dado. El teorema de Cantor afirma que no hay ninguna aplicación inyectiva de dicho conjunto en el conjunto de sus partes. De este teorema resulta que no hay un conjunto del cual todo conjunto sea una parte, ni un conjunto del cual todo conjunto sea elemento. También se deduce que para todo cardinal existe otro cardinal estrictamente superior.

Cantor-Bernstein, teorema de

Sean E y F dos conjuntos. Si existe una aplicación inyectiva de E en F y otra de F en E, entonces existe una biyección entre ambos de lo que se deduce que tienen el mismo cardinal (son equipotentes).

caótica, topología

Ver trivial, topología.

cara

Sea A un espacio afín de dimensión n y supongamos que P es un poliedro convexo. Se llama (n-1)-cara de P a la intersección de P con todo hiperplano de apoyo H, tal que la variedad lineal afín generada por tal intersección coincide con H.

carácter

Sea G un grupo conmutativo, localmente compacto. El carácter de G es un homomorfismo continuo c de G en el grupo conmutativo U de los números complejos de módulo uno.

característica

Sea K un cuerpo conmutativo y sea Z el conjunto de los enteros. La aplicación f:Z ® K definida por f(n) = n e, donde e es la unidad de K es un homomorfismo de anillos. El núcleo de tal homomorfismo es un ideal y el generador de este ideal recibe el nombre de característica de K. Su valor será 0 o un número primo.

característica, función

Sea E un conjunto y sea S una parte de dicho conjunto. Se llama función característica de S a la aplicación I_S :E® {0,1} que toma el valor 0 en cada elemento que no pertenece a S y 1 en cada elemento que pertenece a S.

característica de una variable aleatoria, función

Sea X una variable aleatoria. Su función característica f_X es la transformada de Fourier de la ley de probabilidad de dicha variable aleatoria. Es decir, para cada u Î R es f_X(u) la esperanza de e^{-2i pu X}.

característico, determinante

Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

Supongamos también que el rango r de dicho sistema es no nulo y estrictamente inferior a m (0 < r < m). Sea la matriz A la matriz de los coeficientes del sistema y sea A¢ la matriz que se obtiene adjuntando a la matriz de los coeficientes el vector columna de los coeficientes b = (b₁,b₂, ..., b_m)^T (matriz ampliada). Consideremos una matriz principal P extraída de A. El determinante característico de P es el determinante de la matriz que se obtiene al adjuntar a P una fila tomada entre las no principales y una columna de b. Como toda matriz principal es cuadrada y con rango r, entonces hay m-r determinantes característicos asociados a P.

característico, polinomio

Sea A una matriz cuadrada de orden n con entradas de un cuerpo conmutativoK. La matriz característica de A es el elemento xI_n-A, donde I_n es la identidad de orden n y x es una variable. Este elemento pertenece al conjunto de las matrices cuadradas con entradas del anillo de polinomios K[x]. El determinante de xI_n-A es un polinomio que se llama característico de A. Cuando consideramos un endomorfismo f de un espacio vectorial E de dimensión n y una base B de E, el polinomio característico de la matriz de f respecto a B, M_B(f), se llama polinomio característico de f ya que no depende de la base considerada y puede asignarse con exclusividad al endomorfismo.

característico, punto

ver envolvente.

Cardano, Hieronimo

Médico, astrólogo, poeta y matemático italiano (Pavía,1501-Roma, 1576). Su obra más importante es el Ärs Magna" donde propone un método de resolución de la ecuación de tercer grado que lleva su nombre. Tal método es hallazgo de Nicolo Tartaglia y fue comunicado por éste a Cardano bajo juramento de secreto. Sin embargo, Cardano vulneró este secreto y publicó los hallazgos en su propia obra.

Cardano, método de

Método de resolución de la ecuación de tercer grado x³+p x+q = 0, que consiste en la introducción de variables auxiliares u y v de forma que u+v = x. El problema se reduce entonces a determinar u³ y v³ conocidas su suma y su producto.

cardinal

Se dice que un ordinal a es un cardinal si existe algún ordinal equipotente a a y estrictamente contenido en a. Para todo conjunto E existe un único cardinal equipotente a E que se nota por Card (E). La equipotencia de dos conjuntos es equivalente a la igualdad de sus cardinales.

Cartan, Élie Joseph

Matemático francés (Dolomieu, 1869-París, 1951). Trabajos sobre variedades diferenciables, topología algebraica, grupos de Lie y geometría. Creador, al mismo tiempo que H. Poincaré, del cálculo diferencial exterior. Autor de la teoría de espinores.

Cartan, Henri Paul

Matemático francés, hijo de Élie Joseph Cartan (Nancy,1904). Miembro fundador del colectivo Bourbaki. Sus trabajos versan sobre funciones de una variable real y, fundamentalmente, funciones de varias variables complejas sobre espacios analíticos. También tiene contribuciones fundamentales al álgebra homológica.

cartesiana, forma

Para todo número complejo z existe un único par de números reales (x,y) tal que x+i y = z. Ese par de números reales expresa z en forma cartesiana, siendo x la parte real e y la parte imaginaria de z.

cartesianas, coordenadas

ver cartesiano, sistema de referencia.

cartesiano, sistema de referencia

Consideremos un espacio afín A asociado a un espacio vectorial E de dimensión finita y no nula. Se llama sistema de referencia cartesiano o sistema de coordenadas cartesianas al par formado por un punto O de A y una base B = (e₁,e₂, ..., e_n) de E. Para todo punto P de A el vector O P se escribe de forma única como combinación lineal de los vectores de la base B. Los escalares de esta combinación lineal son las coordenadas cartesianas del punto P. Si n = 2 el primer escalar obtenido se llama abscisa y el segundo ordenada. Si n = 3 los dos primeros escalares reciben los mismos nombres que para n = 2 y el tercero se llama cota.

casi compacto

Un espacio topológico E es casi compacto si de todo recubrimiento abierto de E se puede extraer un subrecubrimiento finito.

casi por todo

Si (E, m) es un espacio de medida y p una proposición, decimos que p es cierta casi por todo E si es falsa sólo para un conjunto de puntos de E de medida nula.

Cassini, Giovanni, Domenico

Astrónomo italiano (Perinaldo, Niza, 1625-París, 1712). Primer director del observatorio de París. Descubrió cuatro satélites de Saturno y la división oscura del anillo que lleva su nombre. Midió la distancia de Marte a la Tierra y descubrió la luz zodiacal.

Cassini, óvalo de

Conjunto de puntos de un plano afín euclídeo cuyas distancias a dos puntos dados tienen producto constante.

categoría

Los elementos de una clase son objetos de una categoría A y se nota entonces la clase por Ob (A) cuando se cumplen las condiciones siguientes:

El conjunto Mor (A,B) se llama conjunto de los morfismos de A en B. Como ejemplos de categorías tenemos la de los conjuntos cuyos objetos son los conjuntos y los morfismos las aplicaciones entre éstos.

categórica, teoría

Una teoría es categórica cuando todos sus modelos son isomorfos.

catenaria

Curva plana de ecuación y = coshx. Corresponde a la posición de equilibrio de un hilo con peso y sin radio suspendido en sus extremos.

Cauchy, Agustín Luis

Matemático francés (1789-1857). Estudió en el Politécnico y en la Escuela de Ingenieros Civiles. Enseñó en París desde 1816 hasta su muerte, aunque en los años 1830 a 1838 se trasladó a Italia (por su exilio político) y enseñó en Turín, después se trasladó a Praga. Contribuyó a la autonomía del Análisis implantado unos métodos más rigurosos que aún siguen empleándose en la actualidad; creó la teoría de las funciones de variable compleja; estableció la distinción fundamental entre series convergentes y divergentes. Son importantes sus numerosos trabajos publicados en Análisis Matemático.

Cauchy, criterio de

Para que una sucesión de elementos de un espacio métrico completo (E,d) sea convergente es necesario y suficiente que sea una sucesión de Cauchy. De esta manera el criterio de Cauchy permite caracterizar las sucesiones convergentes de un espacio métrico completo sin necesidad de conocer su límite. El criterio de Cauchy también se puede aplicar al estudio de las series. Así si tenemos un grupo G conmutativo metrizable y completo con notación aditiva podemos asegurar que una serie de término general (x_n) y sumas parciales enésimas S_n es convergente si y sólo si para todo entorno V de 0 en G es posible hallar un entero positivo n tal que para todo par de enteros (p,q) mayores o iguales que n la diferencia de las sumas parciales S_p - S_q pertenece a V. Si en lugar de una sucesión tomamos una familia (x_i)_{iÎ I} el criterio de Cauchy nos dice que para que tal familia sea sumable en G es necesario y suficiente que para todo entorno V de 0, exista una parte finita J del conjunto de índices I, de manera que siK es otra parte finita de I disjunta con J, la suma å_{i Î K}x_ix_i pertenece a V. También el criterio de Cauchy se aplica a la convergencia de las sucesiones y series funcionales.

Cauchy, problema de

Ver diferencial, ecuación.

Cauchy, regla de

Regla de convergencia para las series numéricas. Dada una sucesión (x_n) de números reales positivos tal que su raíz enésima [ⁿÖ(x_n)] tiene por límite a. Si a es menor que 1 la serie converge y si es mayor que 1 la serie diverge. En el caso de que sea igual a 1 no se puede asegurar nada.

Cauchy, sucesión de

Sea (E,d) un espacio métrico. Una sucesión (x_n) de elementos de E es de Cauchy si para todo real e estrictamente positivo podemos hallar un entero positivo n tal que para todo para de enteros p,q mayores o iguales que n entonces d(x_p,x_q) < e. En el caso de un grupo G topológico conmutativo la definición es similar. Se dice que una sucesión (u_n) de puntos de G es de Cauchy si para todo entorno V de 0, existe un entero positivo n de forma que para todo par p y q de enteros mayores o iguales que n se cumple que x_p - x_q pertenece aV. Toda sucesión convergente es de Cauchy pero el recíproco no es cierto. En el caso de que toda sucesión de Cauchy sea convergente se dice que el espacio es completo.

Cauchy-Lipstchiz, teorema de

Sean E un espacio de Banach y f una aplicación continua definida en un abierto U del producto cartesiano R ×E en E. Suponemos que f es localmente lipschitziana respecto a la segunda variable. Es decir, para todo elemento yÎ E existen dos números reales estrictamente positivosa, b tales que si (x,y₁),(x,y₂) son dos elementos de R ×E que cumplen ||y₁-y|| £ a y||y₂1-y || £ a se tiene que ||f(x,y₁)-f(x,y₂)|| £ b||y₁-y₂||. Entonces podemos asegurar que para todo (x₀,y₀) perteneciente a U, la ecuación diferencial [(dy)/( dx)] = f(x,y) admite una solución maximal única f con la condición inicialf(x₀) = y₀. El maximal se considera como tal en el orden definido por la relación de prolongación.

Cauchy-Schwarz, desigualdad de

Ver convexidad, desigualdades de.

Cavalieri, Francesco Bonaventura

Matemático italiano (Milán, 1598-Bolonia, 1647). Ingresó muy joven en la orden de los jesuitas y se interesó por las matemáticas a raíz de sus lecturas de los trabajos de Euclides y sus contactos con Galileo. Su trabajo más interesante es un curioso método geométrico (teoría de los indivisibles) que permitía el cálculo de áreas y volúmenes con resultados correctos a pesar de no tener un fundamento riguroso. También contribuyó a la introducción de los logaritmos en Italia.

Cayley, Arthur

Abogado y matemático inglés (Richmond, 1821-Cambridge, 1895). Autor del cálculo matricial y de la definición de grupo finito. También tiene aportaciones fundamentales en Geometría.

Cayley-Hamilton, teorema de

Sea E un espacio vectorial de dimensión finita no nula sobre un cuerpo conmutativo K. Todo endomorfismo de E anula a su polinomio característico. Es decir, el polinomio mínimo de un endomorfismo f divide al polinomio característico de f.

centrada, variedad aleatoria

Variable que admite una esperanza igual a 0.

central, elemento

ver centro.

central, proyección

Sea E un espacio vectorial normado y real. La proyección p central es la aplicación de E-{0} en la bola unidad de E definida por p(x) = [1/( ||x||)]x.

centralizador

Sea E un monoide y sea F un subconjunto de E. El centralizador de F es el conjunto de elementos de E que conmutan con todos los elementos de E.

centro

El centro de un monoide E es el centralizador de E. Es decir, se trata del conjunto de elementos de E que conmutan con todos los de E. Cada uno de los elementos del centro se llaman centrales. Cuando E es un grupo su centro es un subgrupo normal y cuando E es un anillo se considera como monoide respecto al producto y se aplica la definición al producto. El centro de un anillo es un subanillo.

centro, cónica con

Cónica propia de un plano afín real que admite un centro de simetría. Las cónicas con centro son la elipse y la hipérbola.

centro de gravedad

Ver baricentro.

cero

Consideremos un cuerpo conmutativo K y sea P(x) un elemento de las fracciones racionales con coeficientes en K. Se dice que un elemento a Î K es un cero de P(x) si es sustituible en dicha fracción y además la función racional asociada se anula en a. En tal caso, la valoración de P(x) en el punto a es un entero estrictamente positivo cuyo valor se llama multiplicidad de a. En el caso de que P(x) sea un polinomio coinciden los conceptos de cero y raíz. También se emplea el término cero para las funciones analíticas. Concretamente, sea f una función analítica definida sobre un abierto D y sea z₀ un punto de D. Podemos asegurar que existen un entero no negativo n y una función analítica f₁ en un entorno de z₀ tales que f(z) = (z-z₀)ⁿf₁(z), siendo f₁(z₀) ¹ 0. Si n = 0 entonces z₀ no es un cero de f. Si n > 1 entonces z₀ es un cero de f de multiplicidad n.

cerrada, aplicación

Dados E y F espacios topológicos, una aplicación continua entre ellos f:E® F es cerrada si la imagen por f de todo cerrado de E es un cerrado de F.

cerrada, forma diferencial

Dados un abierto U de un espacio vectorial n-dimensional sobre R y un entero r estrictamente positivo, se dice que una forma diferencial w sobre U de grado p y de clase C^r es cerrada si su diferencial exterior dw es nula.

cerrado

Una parte C de un espacio topológico E es una parte cerrada o un cerrado si su complementario es abierto. Para que una parte sea cerrada es necesario y suficiente que coincida con su adherencia o bien que contenga a todos sus puntos de acumulación. La intersección de toda familia de cerrados es un cerrado. La unión finita de cerrados es un cerrado. La parte vacía y la parte total son cerrados.

cerrado, algebraicamente

Un cuerpo conmutativo K es algebraicamente cerrado si todo polinomio no constante con coeficientes en K tiene al menos una raíz en K.

cerrado, arco

Arco geométrico cuyos extremos coinciden.

Cesaro, Ernesto

Matemático italiano (Nápoles, 1859-Torre Annunziata, 1906). Estudió en Nápoles, donde conoció a Catalan. Sus principal aportación se inscribe en el marco de la geometría diferencial. Asimismo trabajó en temas de teoría de números, series y física matemática.

Cesaro, suma de

Se dice que una sucesión (a_n) es sumable Cesaro y que la suma de Cesaro es s si

Ceva, Giovanni

Matemático italiano (Milán, 1647-Mantua, 1743). Se educó en un colegio jesuita de Milán y estudió en la universidad de Pisa. Descubridor de importantes resultados geométricos y estudió las aplicaciones de la mecánica y la estática a los sistemas geométricos. Otros trabajos relevantes los realizó en el campo de la hidrodinámica.

Ceva, teorema de

Sean A,B y C tres puntos distintos de un plano afín y sean a, b y g tres puntos de las rectas determinadas por B C,C A y A B, respectivamente. Para que las rectas afines A a, B b y C g sean concurrentes es necesario y suficiente que se cumpla la relación

Chasles, Michel

Matemático francés (Epernon, 1793-París, 1880).

Chasles, igualdad de

Para toda terna (A,B,C) de puntos de un espacio afín, se cumple AB +BC = AC.

Chebichev, Pafnouty Lvovich

Matemático ruso (Okatovo, 1821-San Petesburgo, 1894). Trabajos sobre números primos, formas cuadráticas, funciones ortogonales, aproximación de funciones continuas por polinomios y cálculo de probabilidades.

Chebichev, desigualdad de

Sea X una variable aleatoria definida sobre un espacio probabilístico (W,A,P) y admitiendo una esperanza E(X) y una desviación típicas. Se cumple que para todo número real e > 0, la probabilidad de que la diferencia del valor de X y su media E(X) sea en valor absoluto superior o igual a e es inferior o igual a [(s²)/( e²)]. Es decir,

Chebichev, polinomios de

Son aquellos polinomios P_n que verifican para todo x real P_n(x) = cos(nx), siendo n un entero no negativo. El polinomio P_n es solución de la ecuación diferencial (1-x²) y¢¢-x y¢+ n²y = 0.

cíclico, grupo

Un grupo es cíclico cuando es monógeno (generado por un sólo elemento) y además finito.

cíclico, punto

Los puntos del plano proyectivo P₂(C) de coordenadas homogéneas (1,i,0) y (1, -i,0) se llaman puntos cíclicos.

ciclo

Sea X un conjunto finito. Una permutación s de X es un ciclo si podemos hallar una órbita única O asociada a s en la actuación natural del grupo simétrico de las permutaciones de X sobre X tal que su cardinal sea mayor o igual que 2. Esta órbita se llama soporte de s y su cardinal longitud de s. Se demuestra que toda permutación se descompone de forma única en producto de ciclos con soportes disjuntos dos a dos.

cicloidal, curva

Curva plana que admite una representación del tipo

Si m > 0 entonces se llama epicicloide y sei m < 0 se dice hipocicloide. En ambos casos se trata de la curva descrita por una circunferencia que rueda sin deslizar sobre otra circunferencia

cicloide

Curva plana que admite por representación paramétrica

Se trata de la curva descrita por un punto de una circunferencia cuando ésta rueda sin deslizar sobre una recta.

ciclotómico, polinomio

Dado un entero n estrictamente positivo, se llama polinomio ciclotómico de índice n al polinomio F_n = Õ_{i = 1}^h (x-z), cuyas raíces son las h raíces primitivas n-ésimas de la unidad en el cuerpo de los números complejos.

cifra

ver numeración

cilíndricas, coordenadas

Sea A un espacio afín euclídeo de dimensión 3 y orientado. Sea (0,i, j,k) una referencia ortonormal directa en A y sea P un punto de A. Un sistema de coordenadas cilíndricas de P es toda terna (r,q, z) de número reales tal que O M = r(cos(q) i +sin(q)j)+ x k.

cilindro

Consideremos un espacio afín A asociado a un espacio vectorial E de dimensión 3 y sea r una recta de E. Se llama cilindro de dirección r a la superficie C que resulta invariante por las traslaciones de vector colineal con r. Las rectas afines de C con dirección r se llaman generatrices del cilindro. La base de C es la sección resultante de un plano afín que corte a todas las generatrices.

circulación

Sea E un espacio vectorial normado y de dimensión finita sobre el cuerpo de los números reales. Sea U un abierto de E y sean w una forma diferencial continua sobre U y f:[a,b] ®E un arco parametrizado regular de orden 1 cuyo soporte está contenido en U. Entonces la integral

depende sólo del arco geométrico orientado G asociado al arco parametrizado f(t) y se llama integral curvilínea de w sobre dicho arco, notándose ò_Gw. En el caso de que el espacio vectorial normado E sea también euclídeo, entonces w se identifica con un campo de vectores V y la integral curvilínea ò_G w se llama entonces circulación del campo de vectores V a lo largo de G.

circular, curva

Dícese de la curva algebraica proyectiva y compleja que pasa por los puntos cíclicos.

circular, exponencial

ver exponencial.

circular, hélice

Hélice formada en un cilindro de revolución relativamente a su eje. En coordenadas cilíndricas tiene la expresión:

El valor b/a se llama paso de la hélice. Las hélices son arcos alabeados regulares de orden 3 con curvatura y torsión constantes.

circular, permutación

Una permutación s de {1,2,..., n} es circular cuando existe un natural p estrictamente inferior a n tal que

El conjunto de las permutaciones circulares de {1,2, ..., n} forman un subgrupo cíclico de orden n del grupo simétrico de {1,2, ..., n}.

círculo

Disco cerrado del plano euclídeo.

circunferencia

Sea E un plano euclídeo dotado de una referencia cartesiana normal. La circunferencia de E de radio r y centro el punto de coordenadas (x₀,y₀) es el lugar geométrico que admite por ecuación (x-x₀)²+(y-y₀)² = r².

circunscrita, circunferencia

Dado un polígono P de un plano afín euclídeo se dice que una circunferencia está circunscrita a P si pasa por todos los vértices de P. Si tal circunferencia existe es única y se dice que P es inscriptible.

cisoide

Curva cúbica circular con un único punto de retroceso. La cisoide se llama recta cuando admite un eje de simetría y en tal caso su ecuación en coordenadas polares es de la forma

Clairaut, Alexis Claude

Matemático francés (París, 1713-París, 1765). Hijo de otro matemático, Jean Baptiste Clairaut que lo educó personalmente y despertó su precoz inteligencia. Trabajó en el cálculo de variaciones, el problema de los tres cuerpos, la hidrostática y participó en una famosa expedición organizada con el objetivo de medir la forma de la Tierra, al final de la cual publicó un libro con sus conclusiones.

Clairaut, ecuación de

Ecuación diferencial de la forma y = xy¢+a(y¢). Es un caso particular de las llamadas ecuaciones de Lagrange.

clan

Un conjunto de partes de W es un clan si es no vacío y estable por la unión finita y la diferencia. Sinónimo de clan de conjuntos es anillo de conjuntos. La intersección de una colección de clanes que contienen a una parte dada SÌ W también es un clan que se llama generado por S.

clase C^p

Consideremos dos espacios vectoriales E y F normados sobre un mismo cuerpo (R o C). Sea f una aplicación definida sobre un abierto no vacío U de E y con valores en F. Si f es continua en U se dice que es de clase C⁰, si es p veces diferenciable con continuidad en U se dice que es de clase C^p. Si es indefinidamente diferenciable con continuidad se dice que es de clase C^¥.

clase de equivalencia

Sea R una relación de equivalencia en un conjunto E. Se llama clase de equivalencia de un elemento x Î E respecto de R al conjunto de elementos de E equivalentes a ese x. Se escribe entonces [x] o `x para denotar a la clase en cuestión. Todo elemento de E pertenece a una y sólo una clase de equivalencia y dos elementos que pertenezcan a una misma clase de equivalencia son equivalentes entre sí. Las clases de equivalencia de los elementos de E forman una partición de dicho conjunto.

clases, teoría de

Sistema formal propuesto en principio por Von Neumann en 1926 y mejorado posteriormente por Bernays en 1937 que evita las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos. En esta teoría un conjunto es definido como un tipo particular de clase: aquella que no pertenece a otra clase. Se ha demostrado que una proposición que tenga en cuenta sólo a conjuntos es demostrable en esta teoría de clases si y sólo si lo es en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

clausura

Sinónimo de adherencia.

Clifford, William Kingdon

Matemático y filósofo inglés (Exeter,1845-Madeira, 1879). Estudió en el King's College, donde destacó en matemáticas, literatura y gimnasia. A los 18 años entró en el Trinity College de Cambridge. Trabajó en geometría no euclidiana y amplió la teoría de cuaterniones. Abarcó aspectos docentes, investigadores y filosóficos de las matemáticas con gran originalidad.

cocíclicos, puntos

Puntos que pertenecen a una misma circunferencia.

cociente

Consideremos un monoide conmutativo con ley multiplicativa. Si a es un elemento inversible de dicho monoide, entonces la ecuación a x = b tiene una única solución x = a^-1b que se llama cociente de b y a y se puede escribir como ^b/_a.

cociente, aplicación

Sean E y F dos conjuntos. Supongamos que R es una relación de equivalencia definida en E y que f:E ® F es una aplicación compatible con la relación R. Se llama aplicación cociente a la aplicación g del conjunto cociente E/R en F que asocia a cada clase `(x) la imagen f(x).

cociente, conjunto

Consideremos un conjunto E dotado de una relación de equivalencia R. El conjunto de todas las clases de equivalencia determinadas por tal relación se llama conjunto cociente de E por R y se nota por E/R.

cociente, ley

Sean E un conjunto, R una relación de equivalencia en E y ^ una operación definida en E compatible con la relación R. La aplicación que a las clases de equivalencia [x],[y] hace corresponder la clase de [x ^y] es una ley de composición sobre el conjunto cociente E/R que se llama ley cociente. En el caso de que E sea un grupo con la ley ^ se demuestra que E/R es también un grupo con la ley cociente. Tal grupo se llama cociente de E por R. También si el conjunto E es un anillo o un espacio vectorial y las leyes son compatibles con la relación R se obtienen anillos o espacios vectoriales cocientes con las leyes cocientes respectivas.

codimensión

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K. Se dice que un subespacio S de E es de codimensión finita si el espacio vectorial cocienteE/S es de dimensión finita sobre K. La dimensión de E/S es entonces la codimensión de S en E y se nota por codim S.

coeficiente

Ver formal, serie; Fourier, serie de; polinomio.

cofactor

Sea A = (a_ij) una matriz cuadrada de orden n > 1 con entradas de un cuerpo conmutativo K. Se llama cofactor del elemento a_ij al escalar

donde (A_ij) es el menor asociado a la entrada (a_ij)

Cohen, Paul Joseph

Matemático norteamericano (Long Branch, 1934). Trabajó en Análisis, pero la fama la obtuvo gracias a su demostración de la independencia de la hipótesis del continuo y del axioma de elección del resto de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, en 1963, cerrando así la historia del problema del continuo de Cantor.

coimagen

Dada una aplicación lineal f:E ® F de un espacio vectorial E en otro F, designamos por Ker(f) a su núcleo. El espacio vectorial cociente E/ Ker(f) se llama coimagen de f y se nota por Coim (f).

colectivizante

Una relación R(x) se dice colectivizante respecto a u si podemos hallar un conjunto E tal que u pertenece a E si y sólo si R(u).

columna

ver matriz.

comatriz

Sea A = (a_ij) una matriz cuadrada de orden n > 1 con entradas en un cuerpo conmutativo K. Se llama comatriz de A a la matriz cuadrada B = (b_ij) de orden n cuyos elementos b_ij son los correspondientes cofactores de los a_ij. La transpuesta B^T de la comatriz de A se llama matriz complementaria de A y verifica la relación B^T A = AB^T = det (A) I_n.

combinación

Sea E un conjunto finito con cardinal n ³ 1y sea p £ n. Se llama combinación de p elementos de E o combinación de elementos de E tomados de p en p a todo subconjunto de E que tenga p elementos. El número de combinaciones de p elementos de E es igual a C(n,p).

combinatoria

Parte de las matemáticas que tiene por objeto el estudio de los problemas de cantidad de elementos. Es decir, se ocupa de determinar el número de elementos de un conjunto finito que cumplen ciertas condiciones.

compacta, aplicación lineal

Sean E y F dos espacios vectoriales normados sobre R o sobre C. Una aplicación lineal f:E ® F se dice compacta si la imagen de toda parte acotada de E es relativamente compacta en F. Esto equivale a decir que para toda sucesión (x_n) acotada de elementos de E existe una subsucesión (x_g(n)(n)) tal que la sucesión de imágenes por f correspondiente (f(x_g(n)(n)) converge en F.

compacta, convergencia

Consideremos un espacio topológico E y un espacio métrico (F,d). Sea también el conjunto F^E de las aplicaciones f:E ®F. La topología definida en F^E por las seudométricas

siendo K una parte compacta de E, se llama topología de la convergencia uniforme sobre todo compacto o topología de la convergencia compacta. Para que una sucesión (f_n) de elementos de F^E converja uniformemente sobre todo compacto de E hacia una función f es necesario y suficiente que (f_n) converja uniformemente a f en la topología de la convergencia compacta.

compactificado

Supongamos que E es un espacio topológico localmente compacto. Se puede adjuntar a E un elemento w, llamado elemento del infinito, de manera que el conjunto F = EÈ{w} sea compacto. Para ello se define una topología en F formada por los abiertos de E y los complementarios en F de las partes compactas de E. La topología inducida en E por esta nueva topología es la original de E. El espacio compacto F recibe el nombre de compactificación de Alexandroff del espacio localmente compacto E.

compacto

Un espacio topológico E es compacto si es separado y de todo recubrimiento formado por abiertos de E se puede extraer un número finito de abiertos que también cubren a E. Esta nueva colección se llama subrecubrimiento finito. En resumen, un espacio compacto es un espacio separado y casi compacto.

compacto, casi

Un espacio topológico E se llama casi compacto si de todo recubrimiento formado por abiertos de E se puede extraer un subrecubrimiento finito.

compacto, localmente

Un espacio topológico E separado es localmente compacto si todo punto de E posee un entorno compacto. Evidentemente, todo espacio compacto es localmente compacto aunque el recíproco no es cierto. Así, la recta real es localmente compacta pero no es compacta.

compacto, relativamente

Un subespacio F de un espacio topológico separado E es relativamente compacto cuando está contenido en un subespacio compacto de E. Esto equivale a afirmar que la adherencia de F es compacta.

comparable

Sea E un conjunto dotado de una relación R de preorden. Dos elementos x,yÎ E son comparables si están relacionados entre sí de alguna forma: R(x,y) o R(y,x).

compatible

Sean E y F dos conjuntos y R una relación de equivalencia en el primero de ellos E. Una aplicación f:E® F es compatible con la relación R si la restricción de f a toda clase de equivalencia es constante.Si además existe una relación de equivalencia S en el conjunto F, diremos que f es compatible con R y S si R(x,x¢) implica S(f(x),f(x¢)). Esto es, si dos elementos están relacionados por R sus imágenes están relacionadas por S. La compatibilidad también se extiende a las operaciones. Así si R es una relación de preorden en E y ^ es una ley de composición en E, se dice que R es compatible con ^ si las relaciones R(x,x¢), R(u,u¢) implican R(x ^u, x¢^u¢).

complejo, espacio vectorial

Espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos.

complejo, número

En el espacio vectorial real R² se define un producto mediante (x,y) (x¢,y¢) = ( xx¢-y y¢, x y¢+ y x¢). El conjunto R² resulta ser un cuerpo conmutativo con esta multiplicación y además extensión cuadrática. Este nuevo cuerpo se nota por C y se llama cuerpo de los números complejos. Sus elementos son los números complejos.

complejo, plano

ver numérico, espacio.

complementaria, matriz

Ver comatriz.

complementario

El complementario de un conjunto F incluido en otro E es el conjunto de los elementos de E que no pertenecen a F. Se nota por `(F) o bien por C_E F. Con más precisión se dice que C_EF es el complementario de F relativamente a E.

completa, teoría

Una teoría es completa cuando para toda proposición P, o bien P está en la teoría, o bien la negación de P está en la teoría. Se sabe que toda teoría no contradictoria que contenga los teoremas de la aritmética como suyos propios y admita un algoritmo que reconozca si una proposición es un axioma o un teorema, es incompleta.

completado

Un espacio métrico (E,d) se dice completado si podemos hallar un espacio métrico completo (^(E)],^(d)) tal que E es un subespacio métrico de ^(E) denso en ^(E).

completo

Un espacio métrico (E,d) es completo si toda sucesión de Cauchy en E es convergente en E. Un subespacio métrico E¢ de E que sea completo es cerrado en E. Recíprocamente, si E es completo y E¢ es un subespacio cerrado de E, entonces E¢ es completo. Se demuestra que todo espacio vectorial normado de dimensión finita es completo.

complexificado

Sea E un espacio vectorial real. El grupo aditivo E ×E dotado de la ley externa:

es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos y recibe el nombre de espacio complexificado de E y se nota E_C

componente

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo y sea B = (e_i)_{iÎ I} una base de E. Todo vector x deE se puede escribir de forma única como

donde l_i es una familia de escalares con soporte finito. Los escalares l_i se llaman componentes del vector x en la base B.

composición, ley de

Sea E un conjunto no vacío. Se llama ley de composición o ley de composición interna a toda aplicación de E ×E en E. Cuando la ley de composición no es alguna de las usuales o se razona en genérico se suelen utilizar los símbolos ^, T o similares.

compuesta, aplicación

Sean E,F y G tres conjuntos no vacíos y sean f: E® F y g:F ® G dos aplicaciones. La aplicación compuesta de f y g se nota por g°f y está definida mediante g(f(x)) para todos los x Î E.

compuesta, relación

Sean R y R¢ dos relaciones. La relación compuesta de R y R¢ se nota por R¢°R y está formada por el conjunto de pares (x,z) tales que existe un elemento y que satisface (x,y) Î R, (y,z) Î R¢.

compuesto, polinomio

Sea K un cuerpo conmutativo y sea K[x] el álgebra de los polinomios con una indeterminada y coeficientes en K. Dado un polinomio Q, existe un único endomorfismo del álgebra unitaria K[x] que transforma el polinomio x en Q. Tal endomorfismo se obtiene asociando a todo polinomio P = a₀+ a₁ x + a₂ x² + ... + a_n xⁿ, el polinomio a₀+a₁Q+a₂ Q² + ... + a_n Qⁿ. Esta último polinomio se llama polinomio compuesto de P y Q y se nota por P°Q.

concatenación

Sea E un conjunto no vacío. Consideremos un entero positivo n y notemos por S_n el conjunto de las sucesiones finitas de n elementos formadas por elementos de E. Por convenio, escribimos también S₀ = Æ. Entonces, construimos el conjunto S = È_{n Î N} S_n y se define la concatenación sobre S como una operación en S dada por las reglas siguientes: si b= y a S, b a=a
si a= y b S, a b = b
si a=(x_1, x_2, ..., x_n) y b =(y_1, y_2, ..., y_p)
entonces a b = (x_1, x_2, ..., x_n, y_1, y_2, ..., y_p)

El conjunto S con la concatenación es un monoide llamado monoide libre.

cóncava

Una función numérica finita f definida sobre una parte X de un espacio vectorial real se dice que es cóncava si la función opuesta -f es convexa.

concéntricas

Se dice de circunferencias, cónicas, esferas, etc. que tienen el mismo centro.

concurrentes, rectas

Rectas afines con intersección no vacía.

conchoide

Sea C una curva plana de ecuación en polares r = f(q). La conchoide de C es la unión de las curvas de ecuacionesr = f(q)+k y r = f(q)-k, siendo k un número real.

condicionada, probabilidad

Sean (W, A, P) un espacio probabilístico y BÎ A un suceso de probabilidad no nula. La aplicación de A en el conjunto de los números reales positivos que asocia a cada suceso AÎ A el valor [(P(AÇB))/(P(B))] es también una probabilidad sobre W llamada probabilidad condicionada a B y notada por P_B. Las principales propiedades de la probabilidad condicionada son: A B P_B(A)=1
Para todo (A,B) ^2, P(A B)=P(B) P_B(A) = P(A) P_A(B)
Si (B_i)_1 i n es un sistema completo de sucesos P(A)=_I=1^n P(B_i)P_B_i(A)
Si P(A) 0, P_A(B_j)=P(B_j)P_B_j(A) _i=1^n P(B_i)P_B_i(A).

conexa, componente

Sea E un espacio topológico. Sea x un elemento de E. Consideremos el conjunto C de las partes conexas de E que contienen a x. La unión de todos los elementos de C es un conjunto conexo que llamamos componente conexa dex.

conexo

Un espacio topológico E se llama conexo si no es unión de dos abiertos no vacíos y disjuntos. Esto equivale a decir que E no es unión de dos cerrados disjuntos, que las únicas partes a la vez abiertas y cerradas son el vacío y el propio E o que toda aplicación localmente constante de E en otro espacio topológico F es constante. Una parte P de un espacio topológico es conexa si lo es como subespacio topológico.

conexo, localmente

Un espacio topológico E es localmente conexo si todo punto de E tiene una base de entornos conexos. Todo espacio vectorial topológico es localmente conexo.

conexo, simplemente

Un espacio topológico E es simplemente conexo si es arco conexo y todo lazo de E es homótopo a un lazo puntual.

congruencia

Sea M un módulo sobre un anillo A y sea T un submódulo de M. Se dice que dos elementos x,y ÎM son congruentes módulo F y se nota x ºy \mod F si y sólo si x-y pertenece a F.

cónica

Curva alabeada plana de grado 2. Es decir, se trata de curvas que admiten una ecuación de la forma

conjetura

Proposición que se supone cierta pero no está demostrada.

conjugados, elementos

Sea A un anillos y sea f un automorfismo de A. La imagen por f de un elemento a ÎA se llama conjugado de a. Cuando f es involutivo, el conjugado de f(a) es a. Como ejemplo de automorfismo involutivo tenemos la aplicación que a todo número complejo z = a+ib asocia el número complejo [`(z)] =a-i b. Si G es un grupo multiplicativo, se dice que dos elementos x,y Î G son conjugados si existe un elemento a de G tal que y = a xa^-1. Esta idea puede extenderse a los subgrupos, así dos subgrupos H y J son conjugados si existe a Î G tal que J = aH a^-1.

conjugados, espacios vectoriales

Consideremos un espacio vectorial E sobre el cuerpo de los números complejos. La ley externa (`(a), x) ®`(a) x permite considerar al grupo aditivo de E como un nuevo espacio vectorial sobre C que denominamos espacio vectorial conjugado de E y notamos por `(E).

conjunta, ley

Sean X e Y dos variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio probabilístico (W,A, P). Existe una ley de probabilidad única P_X,Y,Y sobre R ×R, llamada ley conjunta de X e Y, definida por

conjuntista, medida

Sea (E,A) un espacio medible. Una medida conjuntista sobre E es una aplicación m de A en R⁺È{0,+¥} que verifica las condiciones siguientes:

conjuntos, teoría de

La teoría de conjuntos fue creada por Cantor por necesidades del análisis clásico a partir del año 1872. Hasta finales del siglo pasado la noción de conjunto no parecía necesitar más que una definición intuitiva. En este sentido, es ilustrativo reproducir la definición de Cantor: "Por conjunto, se entiende una agrupación en un todo de objetos diversos de nuestra intuición o de nuestro pensamiento". Sin embargo, la utilización de los conjuntos sin ideas precisas conduce rápidamente a paradojas. La paradoja ël barbero afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos; pero el barbero, ¿se afeita a sí mismo", considerada al principio como un problema divertido, provocó una crisis de los fundamentos. En efecto, bajo una forma matemática, la noción de conjunto de conjuntos formado por conjuntos que no son elementos de sí mismos es contradictoria. El esfuerzo que se ha llevado a cabo en la teoría de conjuntos ha conseguido dar una serie de reglas y definiciones precisas que conservan, en la medida de lo posible, los resultados de la teoría de Cantor. La primera axiomatización de la teoría de conjuntos es debida a Zermelo en 1908; fue mejorad más tarde por Fraenkel y Skolem en 1922 y 1923. Otra axiomatización, debida a Von Neumann, hace referencia a la noción de clase.

conmutador

Sea G un grupo multiplicativo y sean x,y dos elementos de G. Se llama conmutador de x e y al elemento de G dado por x yx^-1 y^-1.

conmutar

Se dice que dos elementos x,y de un magma (E,^) conmutan cuando x ^y = y ^x.

conmutativo

Se dice que una ley de composición ^ definida sobre un conjunto E es conmutativa cuando para todo ,x, y de dicho conjunto se cumple x ^y = y ^x. Es decir, que todo par de elementos conmuta. En el caso de tener un magma cuya ley de composición es conmutativa se dice que el magma es conmutativo o abeliano, si se trata de un grupo se dice asimismo que es un grupo abeliano o conmutativo. Un anillo es conmutativo cuando su ley multiplicativa lo es. Del mismo modo, se dice que un álgebra es conmutativa si su multiplicación lo es.

conmutativo, diagrama

Sean E,F,E¢,F¢ conjuntos no vacíos y sean f una aplicación de E en F, f¢ una aplicación de E¢ en F¢, f una aplicación de E en E¢ y F una aplicación de F en F¢. Se dice que el diagrama es conmutativo cuando f¢°f = f°f.

cono

Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial real E. Sea P un punto de A se dice que una parte no vacía C de A es un cono de vértice P si C es estable por las homotecias de centro P y razón estrictamente positiva. Las rectas afines de C pasando por P se llaman generatrices de C. Se llama base de C a la sección de C que resulta cortando todas las generatrices con un hiperplano afín que no pasa por P. La directriz del cono C es una curva que corta a todas las generatrices y no pasa por P.

conoide

Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial E de dimensión 3. Sean también r una recta afín de A y p un plano de E. Se llama conoide de eje r y plano director p a una superficie C que resulta de la unión de las rectas afines que cortan a r y son paralelas a p. Tales rectas se llaman generatrices del conoide y se dice que la directriz de C es la curva que cortando a todas las generatrices de C no corta al plano p. Cuando A es euclídeo y p es ortogonal a r es ortogonal a p se dice que el conoide es recto.

consistente

Una teoría es consistente si es imposible derivar de ella una contradicción, o lo que es equivalente, si existe alguna proposición que no es derivable de la teoría. Una teoría es inconsistente o contradictoria cuando no es consistente. Las paradojas de Russel y Burali-Forti, entre otras, mostraron a fines del siglo pasado que las teorías matemáticas de aquel tiempo no eran consistentes. Este fue el principio de la llamada crisis de fundamentos que se cerró con las teorías formales de Zermelo-Fraenkel o de Russell. Sin embargo, estas teorías admiten proposiciones que no son demostrables ni refutables, es decir, son teorías incompletas; es más: son incompletables (teorema de Gödel). Por otra parte, el segundo teorema de Gödel afirma que será imposible demostrar la consistencia de dichas teorías recurriendo sólo a sus propios axiomas. Por ejemplo, en 1936 Gerhard Gentzen demostró la consistencia de la aritmética, pero haciendo uso de axiomas no contenidos en ella ni en ninguna teoría usual.

constante, aplicación

Una aplicación f de un conjunto E en un conjunto F es constante si y sólo si para todo par de elementos x,y Î E se tiene que f(x) = f(y). Es decir, existe y Î F tal que su imagen inversa es todo E.

constante, aplicación localmente

Sea f una aplicación de un espacio topológico E en un conjunto F. Se dice que f es localmente constante si para cada punto x Î E es posible hallar un entorno V de x tal que la restricción de f a V es constante.

contacto

Sean f₁ y f₂ dos aplicaciones con valores es un espacio vectorial normado E y definidas en una parte D no vacía de la recta real. Consideremos también un punto t₀ adherente a D y un entero no negativo p. Se dice que f₁ y f₂ están en contacto de orden p en el punto t₀ si el valor de la diferencia f₁ - f₂ es despreciable respecto a (t-t₀)^p cuando t tiende a t₀. Otras acepciones del término contacto se consideran en el contexto de las subvariedades y en contexto de las curvas. Así, si E es un espacio vectorial real de dimensión finita y V₁, V₂ son dos subvariedades de E de dimensiones d₁ y d₂, respectivamente, se dice que están en contacto de orden p en un punto m₀ de su intersección V₁ÇV₂, si podemos hallar una ecuación h(x) = 0 de V₁ en un entorno de m₀ y una representación paramétrica f de V₂ en un entorno también de m₀, de forma que la aplicación h f es despreciable frente a ||x-f^-1(m₀)|| cuando x tiende a f^-1(m₀). Si las dimensiones de las variedades son iguales el contacto se llama simétrico. Para que dos curvas C₁ y C₂ estén en contacto de orden p en un punto m₀ es necesario y suficiente que existan dos representaciones paramétricas f₁ y f₂, respectivamente, de manera que estén en contacto de orden p en el punto t₀ = f₁^-1(m₀) = f₂^-1(m₀).

contenido

Sinónimo de incluido. Ver inclusión.

continua, aplicación

Sean E y F dos espacios topológicos y sea f una aplicación de E en F. Se dice que f es continua en x₀ ÎE si para todo entorno W de su imagen f(x₀) en F, existe un entorno V de x₀ en E tal que f(V) Ì W. Esto equivale a decir que la antiimagen de todo entorno de f(x₀) es un entorno de x₀. La aplicación f es continua en un subconjunto A Ì E si lo es en cada uno de sus puntos. Para que f sea continua en E es necesario y suficiente que la imagen inversa de todo abierto de F sea un abierto de E o bien que la imagen inversa de todo cerrado de F sea también un cerrado de E. La noción de continuidad se adapta a los espacios métricos mediante el uso de la distancia para definir entornos.

continua, fracción

Consideremos un entero positivo n y una sucesión (y₀, y₁, ..., y_n) de enteros positivos a partir del primer término. Definimos una sucesión (z_n) de números racionales mediante la relación recurrente

continua, función absolutamente

Se dice que una función compleja f definida sobre la recta real es absolutamente continua si existe una función compleja p definida e integrable sobre la recta real y tal que para todo x Î R se tiene que

La clase de una función tal p es única y se llama densidad de f.

continuo

Se dice que un conjunto tiene la potencia del continuo si es equipotente al conjunto de las partes del conjunto de los números naturales

continuo, hipótesis del

Todo conjunto no numerable contiene una parte equipotente a R. Dicho de otra manera, no existe un conjunto cuyo cardinal sea estrictamente superior al de los naturales y estrictamente inferior al de los reales. Existe una versión más general llamada hipótesis generalizada del continuo que postula que para todo conjunto infinito E no existe ningún cardinal estrictamente mayor que el de E y estrictamente inferior que el del conjunto de sus partes P(E). Paul J. Cohen ha demostrado que cualquiera de las dos versiones de la hipótesis del continuo es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

contracción

Ver tensor.

contragradiente

Sea E un espacio vectorial y sea f un automorfismo de E. El transpuesto del automorfismo inverso f^-1 se llama contragradiente de f y se nota por \brevef. Es decir, \brevef = (f^-1)^t.

contraída, aplicación

Una aplicación f de un espacio métrico (E,d) en sí mismo se dice que es contraída de razón k, si es lipschitziana de razón k con k estrictamente inferior a uno.

contrario, suceso

Sea (W, W) un espacio probabilizable. El complementario en W de un suceso A ÎW también es un suceso que llamamos contrario de A y notamos por `(A).

contravariante

Ver tensor.

conúcleo

Sea f una aplicación lineal entre dos K-espacios vectoriales E y F. Sea Im(f) la imagen de f. Se llama conúcleo y se nota por Coker(f) al espacio vectorial cociente F/Im(f).

convergencia

El concepto de convergencia es básico en el Análisis Matemático. Se entiende generalmente en el marco de los espacios topológicos pero tiene otras acepciones y matices. En un espacio E vectorial topológico, una sucesión de sus elementos (x_n) converge débilmente a un elemento x Î E si para toda funcional lineal y continua f de su dual E^* se cumple

En el caso de una sucesión (f_n) de funcionales lineales y continuas, la convergencia débil implica que para todo x Î E se verifica

En un espacio vectorial normado E una sucesión de puntos (x_n) converge fuertemente a x Î E si

La convergencia se llama débil si para toda aplicación lineal y continua f de E en su cuerpo base (R o C) se tiene

Cuando una sucesión converge fuertemente también converge débilmente pero la recíproca no siempre es cierta.

convergencia, radio de

Sea zⁿ a_n el término general de una serie entera con coeficientes a_n en un espacio normado completo E. El conjunto de números reales positivos r que verifican que al serie de término general ||a_n||rⁿ converge constituyen un intervalo no vacío. Su cota superior r en R o en R ampliado se llama radio de convergencia de la serie entera. El conjunto de los números complejos z tales que |z_n| < r se llama dominio de convergencia. En el caso de que r sea diferente de 0 y de ¥ el dominio de convergencia es un disco abierto de centro el origen y radio r.

convergencia en ley

Sea (W, A, P) un espacio probabilístico, sea también (X_n) una sucesión de variables aleatorias sobre W y X una variable aleatoria sobre W. Se dice que la sucesión (X_n) converge en ley a X si para todo par (a,b) de números reales donde la función de distribución es continua se tiene

convergencia en probabilidad

Sea (W, A, P) un espacio probabilístico, sea también (X_n) una sucesión de variables aleatorias sobre W y X una variable aleatoria sobre W. Se dice que la sucesión (X_n) converge en probabilidad a X si para todo real e < 0 se cumple

convergente

Ver convergencia.

convergente, absolutamente

Sea (x_n) una sucesión de elementos de un espacio vectorial normado E. Se dice que la serie å_{i = 0}ⁿx_n converge absolutamente si la serie å_{i = 0}ⁿ || x_n || es convergente. Para que un espacio normado E sea completo es necesario y suficiente que toda serie absolutamente convergente de elementos de E sea convergente.

convergente, conmutativamente

Una serie de término general (x_n) de un grupo topológico separado se dice que es conmutativamente convergente si para toda permutación s de los enteros no negativos la serie å_{i = 0}ⁿx_s(n) es convergente. Para que la serie de término general (x_n) sea conmutativamente convergente es necesario y suficiente que la familia (x_n)_{n Î N} sea sumable.

convergente, integral

Sea f una función definida en la recta real y con valores en un espacio de Banach E. Supongamos que es localmente integrable sobre la recta real (relativamente a la medida de Lebesgue). Se dice que f admite una integral convergente sobre [a,+¥[ si la función definida por

tiene límite cuando x ® +¥. En el caso en que E = R y f sólo tenga valores positivos, para que f admita una integral convergente es necesario y suficiente que sea integrable en el intervalo [a,+¥[. La función f:R É D ®E admite una integral absolutamente convergente sobre [a,+¥[ si la función ||f|| admite una integral convergente sobre [a,+¥[. Como trabajamos en un espacio de Banach (por tanto normado y completo) se puede asegurar que toda integral absolutamente convergente es convergente.

convergente, normalmente

Sean X un conjunto no vacío, F un espacio vectorial normado y (f_n) una sucesión de aplicaciones de X en F acotadas. Se dice que la serie å_{i = 0}^¥ f_n es normalmente convergente si es absolutamente convergente en el sentido del espacio vectorial de las aplicaciones acotadas de X en F dotado de la norma de la convergencia uniforme. En la ráctica basta probar que existe una sucesión de números reales positivos (a_n) tal que ||f_n|| < a_n para todo x Î X y para todo natural n.

convexa, envolvente

Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial E sobre R. Sea S un subconjunto de A. El conjunto de las partes convexas de A que contienen a S tiene un mínimo elemento (obtenido mediante la intersección de todas ellas) que llamamos envolvente convexa de S y, por definición, resulta el "menor" convexo que contiene a S.

convexa, función

Sea f una función real definida sobre una parte no vacía G de un espacio vectorial E sobre R. Una tal función es convexa si el conjunto de los puntos de E ×R situados por debajo del grafo de f es convexo. Esto es equivalente a afirmar que G es un convexo de E y, para todo x,y Î G y para todo real l Î [0,1] se tiene

convexa, parte

Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial E sobre R. Una parte G de A se dice convexa si para todo par P,Q de puntos de G el segmento cerrado [P,Q] está contenido en G. Para que una parte no vacía de A sea convexa es necesario y suficiente que sea estrellada respecto a alguno de sus puntos. En el caso de un espacio vectorial real E, decimos que una parte F Ì E es convexa si para todo x,y Î F y para todo l Î [0,1] es lx + (1-l) y Î F.

convexidad, desigualdades de

Dadosn un entero positivo, (a_i)_{1 £ i £ n}, (b_i)_{1 £ i £ n} dos sucesiones de números reales positivos y p,q dos números reales estrictamente positivos tales que ¹/_p+ ¹/_q = 1 se cumple

[desigualdad de Hölder] (28)

y también para p un número real estrictamente positivo

[desigualdad de Minkowsky] (29)

Estas desigualdades se llaman desigualdades de convexidad. Cuando p = q = 2 la desigualdad de Hölder toma el nombre de desigualdad de Cauchy-Schwarz.

convexo, localmente

Un espacio vectorial topológico E sobre R o C se dice localmente convexo si para todo punto x Î E existe un sistema fundamental de entornos convexos de x. Esto equivale a decir que la topología de E puede definirse a partir de una familia de seminormas sobre E.

convexo, polígono

Ver polígono.

convolución

Sean f y g dos funciones complejas definidas en Rⁿ y localmente integrables (integrables respecto a la medida de Lebesgue). Se dice que f y g admiten convolución si la función f(x-t) g(t) es integrable casi por todo punto x de Rⁿ. En tal caso, se dice que

es el producto de convolución de f y g.

coordenada

Ver cartesiano, sistema de referencia.

coplanario

Se dice que dos vectores (o dos puntos) son coplanarios cuando pertenecen a un mismo plano (respectivamente, a un mismo plano afín).

corolario

Teorema que es consecuencia inmediata de otro teorema.

corona

Sea z₀ un número complejo y sean r₁, r₂ dos números reales positivos tales que r₂ < r₁. La corona de centro z₀ y radios r₁ y r₂ es el conjunto de números complejos z tales que r₂ < |z-z₀| < r₁.

correspondencia

Sean E y F dos conjuntos no vacíos y sea E×F su producto cartesiano. Sea también G una parte de E×F. Una correspondencia entre E y F es la terna f = (E,F,G). A G se le llama grafo o gráfico de f a E conjunto de partida (o inicial) y a F conjunto de llegada (o final). Si un par (x,y) pertenece a G se dice que y corresponde a x por f. El conjunto de definición (o dominio) de f está formado por aquellos x del conjunto inicial E que verifican que (x,y) Î G. El conjunto imagen está formado por aquello elementos y de F que corresponden al menos a un valor x de E. Las aplicaciones son un tipo de correspondencia.

cortadura

Partición del conjunto totalmente ordenado de los números racionales en dos clases no vacías tales que todo elemento de la primera es inferior a todo elemento de la segunda.

cortar

Un conjunto E corta a otro F (o bien E y F se cortan) si su intersección es no vacía.

cosecante

Función numérica definida sobre el conjunto R - n Z mediante csc(x) =1/( sin(x)).

coseno

Ver angulares, funciones; hiperbólicas, funciones; trigonométricas, funciones.

cota

Ver cartesiano, sistema de referencia.

cota superior

Sea E un conjunto ordenado y sea P una parte no vacía de E. Se dice que k Î E es una cota superior de P si k es comparable con todos los elementos de P y resulta mayor o igual (relativamente al orden de E).

cota inferior

Sea E un conjunto ordenado y sea P una parte no vacía de E. Se dice que k Î E es una cota inferior de P si k es comparable con todos los elementos de P y resulta menor o igual (relativamente al orden de E).

cotangente

Ver angulares, funciones; hiperbólicas, funciones; trigonométricas, funciones.

covariante

Ver tensor.

covarianza

Sean X e Y dos variables aleatorias sobre un mismo espacio probabilístico (W, A, P), ambas admitiendo momentos de orden 2. Se llama covarianza de X e Y y se nota por Cov(X,Y) a la esperanza del producto de las variables centradas asociadas a X e Y. Es decir, Cov(X,Y) = E[(X-E(X)) (Y-E(Y)].

Cramer, Gabriel

Matemático italiano (Génova, 1704-Bagnols-Sur-Cèze, 1752). Trabajó en el campo del análisis, de los determinantes, la geometría y la historia de las matemáticas. Es sobre todo conocido por su regla para resolver sistemas lineales mediante determinantes aunque también hizo contribuciones al estudio algebraico de las curvas.

Cramer, sistema de

Sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas y rango máximo (es decir n). Un tal sistema admite una solución única expresable mediante cocientes de determinantes. En efecto, si tenemos el sistema

donde

se concluye que es de Cramer y la solución se obtiene mediante las fórmulas, llamadas también de Cramer

creciente

Consideremos dos conjuntos ordenados E y F cuyas relaciones de orden notamos por el mismo símbolo £ . Una aplicación f:E® F es creciente (o bien un morfismo de conjuntos ordenados) si para todo (x,y) Î E² tal que x £ y se cumple f(x) £ f(y). En el caso de una sucesión f:N ® F esta condición equivale a la siguiente: para todo natural n es f(n) £ f(n+1). Si sustituimos el símbolo de la desigualdad por el de la desigualdad estricta se obtiene el concepto de aplicación (respectivamente, sucesión) estrictamente creciente.

criterio

Sinónimo de condición necesaria y suficiente.

cuadrada, matriz

Ver Matriz.

cuadrada, raíz

Ver raíz.

cuadrado

Rectángulo cuyos lados tienen la misma longitud o en otra acepción es toda potencia de exponente dos de un elemento de un monoide multiplicativo.

cuadrante

Sinónimo de sector angular recto. Sea P un plano euclídeo orientado y consideremos (i, j) una base ortonormal directa de P. Podemos determinar unas semirrectas O x, O y,O x¢, O y¢ con origen O y vectores directores i, j, -i, -j, respectivamente. Se llama primer cuadrante (respectivamente, segundo, tercero, cuarto) al cuadrante de origen O x (respectivamente, O y, O x¢, O y¢) y extremo Oy (respectivamente O x¢, O y¢, O x.

cuadrática, extensión

Dados un anillo A unitario y conmutativo y e su elemento unidad, se dice que una extensión B de A es cuadrática si podemos hallar un elemento n de B tal que el par (e, n) es una base del A-módulo B. En la práctica, la extensión cuadrática más común se efectua dotando al grupo producto directo A² de una estructura de anillo unitario y conmutativo mediante una multiplicación definida por

En esta multiplicación el elemento d es uno dado del anillo A. La extensión obtenida se nota por A[Öd] y se caracteriza porque en ella (d,0) es el cuadrado de (0,1).

cuadrática, forma

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K. Una forma cuadrática q sobre E es una aplicación q: E ® K que satisface las condiciones siguientes:

La definición nos muestra la estrecha relación existente entre las formas cuadráticas y las formas bilineales simétricas. En efecto, si S es una forma bilineal simétrica sobre E, la aplicación q(x) = S(x,x) es una forma cuadrática asociada a S. Del mismo modo, si el cuerpo K es de característica distinta a 2 se tiene que para toda forma cuadrática q sobreE, la aplicación Q(x,y) = ¹/₂ (q(x + y) - q( x)-q(y)) es una forma bilineal simétrica que tiene a q por forma cuadrática asociada.

cuadratura del círculo

Construcción de un cuadrado de área igual a un círculo dado. Este problema se reduce a la determinación de p y no es resoluble mediante regla y compás ya que p es trascendente.

cuádrica

uperficie algebraica de grado 2. Admiten ecuación de la forma

donde A,A¢,A¢¢, B, B¢, B¢¢, C,C¢, C¢¢ y D son números reales. En el caso del cuerpo de los números reales las cuádricas se clasifican estudiando la signatura de la forma cuadrática

cuadrilátero

Un polígono es una sucesión finita de al menos tres puntos puntos distintos de un plano afín real, tal que dos puntos consecutivos no están nunca alineados. Los puntos de la sucesión son los vértices y los segmentos que unen puntos consecutivos son los lados. Un polígono de cuatro vértices y cuatro lados es un cuadrilátero.

cuártica

Curva algebraica de grado cuatro.

cuaterna

Conjunto de la forma ((x,y,z),t), notado más simplemente por (x,y,z,t).

cuaternión

Sea K un cuerpo conmutativo y consideremos el espacio vectorial K⁴ sobre K. Dados dos escalares p,q Î K y la base canónica (e,i,j,k) de K⁴ existe una estructura de K-álgebra para K⁴ única, tal que e^2 =e, e i = i e = i
e k = k e = k
i^2 =p e, j^2 = q e
k^2 = -p q e, i j = - j i = k
j k =- k j = - q i, k i = - i k = - p j Con esta estructura de álgebra el espacio K⁴ se llama álgebra de los cuaterniones sobre K y se nota por E_p,q,q. En el caso de que K = R y p = q = -1, el álgebra E_-1,-1 es un cuerpo notado por H (en honor a Hamilton).

cúbica

Curva algebraica plana de grado 3.

cúbica, raíz

Ver raíz.

cubo

Potencia de exponente n = 3 de un elemento a de un monoide multiplicativo. También se llama cubo a un paraleletopo cerrado de un espacio afín asociado a un espacio vectorial de dimensión 3.

cuerpo

Anillo no trivial (es decir, no reducido al cero) y cuyos elementos no nulos son todos inversibles. Para que un anillo no trivial sea un cuerpo es necesario y suficiente que el conjunto de sus unidades coincida con K^* = K-{0}.

curva

Ver subvariedad de Rⁿ.

cuvatura

Sean E un espacio vectorial euclídeo tridimensional, C una curva de clase C², (I,f) una representación paramétrica de C y M₀ un punto de C. La curvatura g de C en el punto M₀ es la norma de la derivada respecto a la abscisa curvilínea del vector unitario tangente t. Es decir:

La curvatura no es nula si y sólo si M₀ es un punto regular de orden 2. En tal caso, se demuestra que

siendo n el vector unitario de la normal principal. La inversa de la curvatura se llama entonces radio de curvatura y se nota por r (o R). El punto P = M₀+r n se llama centro de curvatura. La curvatura y el centro de curvatura no dependen de la orientación elegida sobre C. En el caso de que E sea un plano euclídeo orientado las definiciones son las mismas, considerando esta vez que n designa al vector unitario de la normal orientada, y que la curvatura no es necesariamente positiva. El radio de curvatura es entonces r = [(ds)/( d a)], donde s es la abscisa curvilínea y a una función angular asociada al vector tangente t.

curvilínea, abscisa

Sea A un espacio afín euclídeo de dimensión finita y sea (I,f) un arco parametrizado de A de clase c^p, p >1. Dado un punto t₀ de I se llama abscisa curvilínea de origen t₀ al valor

curvilínea, integral

Ver circulación.

curvilíneas, coordenadas

Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial normado n-dimensional sobre R. Sea también f un difeomorfismo de un abierto U de Rⁿ sobre un abierto V de A. Para todo punto y de V, el único punto (u₁, u₂, ..., u_n) de U cuya imagen por f es y (es decir la antiimagen de y por f) se llama sistema de coordenadas curvilíneas de y.

cúspide, punto

Sinónimo de punto anguloso.