Primeras consideraciones

Consideremos la expresión . En ella hay tres incógnitas que pretendemos sean números enteros. Para facilitar su resolución, vamos a suponer que que x, y y z son primos entre sí (es decir, no comparten ningún factor). Bajo esta suposición probaremos que z tiene que ser impar y que x e y tienen distinta paridad (uno es par y el otro impar). En efecto, si suponemos que x e y son ambos pares entonces comparten el 2 como factor y esto contradice nuestra suposición de que son primos entre sí. Así pues, uno de ellos será impar y el otro par, por ejemplo  (impar),  (par). Por tanto:

Esto significa que  es un número impar y por tanto, z también es un número impar. Hemos probado que x e y tienen distinta paridad y que z es impar.

Consideremos que x es impar. Pasamos  al segundo miembro de la ecuación y queda:

. (1)

Utilizando la conocida descomposición de una diferencia de cuadrados

 , tenemos

. (2)

Esta es la expresión con la que vamos a trabajar.

Desarrollo para x impar

Sea . Podemos descomponer factorialmente de la forma

(3)

donde a y b son primos relativos (es decir, no tienen ningún factor común). Sustituyendo tal descomposición en (2) queda

. (4)

Esto significa que el producto ab es un cuadrado perfecto (ya que ). Como a y b no tienen factores comunes, habrán de ser ambos cuadrados perfectos para que su producto lo sea (piensa que si uno de ellos no lo es siempre habrá un factor que no estará al cuadrado y ya no tendríamos un cuadrado perfecto). En definitiva, podemos escribir

, , (5)

donde u y v son números enteros. Sustituyendo (5) en (4) queda

(6)

luego

x=uvd . (7)

Llegados a este punto, utilizamos las igualdades de (3) para despejar x e y. Esto es sencillo, bastará con sumar las dos expresiones y restar las dos expresiones

Es decir,

. (8)

Ahora sustituimos los valores de a y b dados en (5), quedando

(9).

Por otro lado, como x=uvd y x es impar, habrán de ser u,v y d impares (en caso contrario el producto por un par haría que el resultado fuera también par). Además como hemos supuesto que x e y,  no tienen más divisores comunes que la unidad y resulta que d es divisor común de x e y, se tiene que d=1, quedando

. (10)

Por último, como  y  son primos entre sí, y  y , entonces  y  también son primos entre sí. Estas fórmulas nos dan las soluciones de la ecuación diofántica  para el caso en el que x e y son primos entre sí y x es impar. Los valores u y v son números impares y primos entre sí.

Desarrollo para x par

Sea x par e y impar. Entonces como z siempre es impar, tenemos de (2) que

y tanto z + y como z - y han de ser ambos pares pues son suma y diferencia de impares. Podemos escribir

, (11)

donde a y b  son números enteros. Comprobamos que a y b son primos entre sí, puesto que si

, (12)

entonces

. (13)

Sumando y restando estas últimas igualdades

(14)

Por tanto,  e  por lo que d es factor común a ambas y debe ser igual a uno. Queda entonces probado que  son primos entre sí. Para terminar, escribimos

.  (15)

Como  es par, la expresión  es en realidad un entero. Como el producto de los factores  es un cuadrado, resulta que ambos han de ser también cuadrados

(16)

y el par u,v primos entre sí, puesto que sus cuadrados lo son. Sustituyendo en (15) resulta

. (17)

Y sumando y restando las expresiones de (16)

, .

Como z e y son impares, los valores u y v han de tener distinta paridad pues en caso contrario, la suma y diferencia de sus cuadrados sería un número par. Tenemos entonces las fórmulas

, (18)

con  y  primos entre sí y uno par y el otro impar.

En realidad, los casos para x impar o par son absolutamente simétricos por lo que para construir todas las soluciones que no comparten factores podemos usar uno u otro caso indistintamente.

Aplicación a la construcción de rectángulos

Decimos que un triángulo rectángulo de longitudes enteras es primitivo si sus catetos x,y y su hipotenusa  son números enteros primos entre sí. Podemos utilizar los resultados anteriores para hallar el número de triángulos rectángulos primitivos que se pueden formar conocido un cateto. Por ejemplo, supongamos que el triángulo en tiene un cateto x=3455.

Descomponemos factorialmente  y aplicamos lo visto para el caso en que  es impar. Como resulta que es producto de dos impares primos entre sí, tenemos que u=691 v=5 y por tanto

.

Hay otra forma de poner  como producto de dos impares primos entre sí,

Por lo que tendremos otro triángulo primitivo con dimensiones

entonces tenemos dos triángulos rectángulos primitivos de longitudes enteras con cateto x=3455. El número de triángulos rectángulos primitivos que se pueden obtener para un cateto dado (ya sea éste par o impar) cuya descomposición factorial es

resulta igual a

. (fórmula 1 de Bailer) (19)

Podemos comprobar que para esta fórmula se cumple puesto que 3455 no es congruente con 2 módulo 4 (es decir, no da resto 2 al hacer la división euclídea de 3455 entre 4) y tiene dos factores primos n = 2, quedando

Supongamos ahora que uno de los catetos mide 1023, entonces como es impar y su descomposición resulta

podemos poner este número como producto de impares primos entre sí de las formas siguientes:

Así pues, tenemos cuatro triángulos rectángulos primitivos con uno de sus catetos igual a 1023. Esto nos lo confirma la fórmula (19) puesto que 1023 no es congruente con 2 módulo cuatro y tiene tres factores primos (n=3) por lo que

¿Qué pasará si la longitud dada es un número par? Pues bastará usar las expresiones para el caso par. Por ejemplo, supongamos que la longitud dada es 3456 entonces hay que poner este número en la forma

3456=2uv

con u y v primos entre sí y de distinta paridad. Dividiendo ambos miembros entre 2, tenemos

1728=uv

pero

.

La únicas maneras de expresar esta descomposición como producto de un par por un impar sin factores comunes es haciendo  y  o bien  y . Así pues, sólo hay dos triángulos rectángulos primitivos con esta longitud. La fórmula (19) confirma este extremo ya que 3456 no es congruente con 2 módulo 4 y queda

.

Los triángulos se obtienen de (18)

.

Llegados a este punto, la pregunta natural es ¿cuántos triángulos rectángulos primitivos o no se podrán construir con un cateto dado? ¿Cómo obtener sus longitudes? Para responder a estas cuestiones vamos a tomar el ejemplo anterior. Así pues partimos de un cateto x=3456. Hemos construido ya dos triángulos rectángulos primitivos, el resto han de ser triángulos rectángulos donde las longitudes comparten algún factor con los existentes en 3456. Por ello, resulta natural partir de la descomposición factorial de este número:

.

Los factores de este número (o divisores) se obtienen aplicando el algoritmo usual

En total hay 32 divisores. Sin embargo, no todos nos pueden servir para formar triángulos primitivos habrá que descartar el uno (esto es evidente), el 3456 (debido a que ya lo hemos tenido en cuenta) y aquellos que sean congruentes con 2 módulo 4 (ver la fórmula de Bailer (19)). Así pues, descartamos los siguientes: 1, 3456, 2, 6, 18, 54. Nos quedan un total de 18:

.

Pasamos al cálculo.

Para , tenemos que usar el caso par, quedando , por lo que  es la única posibilidad. Así obtenemos el triángulo primitivo

.

Aplicando la fórmula de Bailer resulta que sólo hay un triángulo primitivo. Multiplicando por 864 (ya que ) las dimensiones de este triángulo obtenemos un triángulo no primitivo con cateto igual a 3456:

.

Para  tenemos el caso impar, , como única posibilidad, quedando

.

Es decir, obtenemos el mismo triángulo primitivo que para  (sólo que con los catetos cambiados). Multiplicando por 1152 (ya que ) las longitudes de este triángulo resulta

que es un rectángulo no primitivo distinto al obtenido para . Así procederíamos con el resto de los factores. Pero ¿cuántos triángulos no primitivos sacamos? Bastará aplicar la fórmula de Bailer a cada una de las descomposiciones de los 18 números y sumar los resultados. Cada uno de los 18 números que conste de un solo factor primo tendrá un único rectángulo primitivo y aquellos que consten de dos tendrán dos rectángulos primitivos. No hay más posibilidades puesto que al hallar los divisores hemos tenido en cuenta sólo los dos factores primos presentes en 3456. En definitiva hay 43 triángulos rectángulos no primitivos que junto a los dos primitivos que ya conocemos dan un total de 45 triángulos rectángulos con cateto igual a 3456.

Afortunadamente, existe otra fórmula de Bailer que nos da el número de triángulos rectángulos (primitivos o no) que se pueden formar conocido un cateto. Para aplicarla debemos descomponer factorialmente el número dado y ponerlo en la forma:

Una vez hecho esto, el número de triángulos rectángulos que tienen a uno de sus catetos con longitud  es

(fórmula 2 de Bailer) (20)

Por ejemplo, para , resulta  por lo que

.

Para  resulta , luego el número de triángulos es

Para  es