1.1.1  Introducción

    Hay diversas formas de construir el cuerpo de los números complejos a partir del cuerpo de los reales. Particularmente, nos parece que el procedimiento más adecuado es el llamado de extensión o ampliación cuadrática. Las razones de nuestra elección son básicamente dos: su generalidad y la cercanía de su planteamiento al origen histórico de los números complejos.

    El concepto de extensión de una estructura algebraica es amplio y admite diversas acepciones. Por ejemplo, sea B un anillo unitario y conmutativo (abrevidamente AUC) y sea A un subanillo de B. Se dice entonces que B es una extensión de A puesto que el producto (multiplicación) del anillo B

permite considerar a B como un módulo bidireccional sobre A (animamos al lector a que lo compruebe). Esta definición es análoga para el caso en que A y B sean cuerpos conmutativos ², sólo que en lugar de un módulo obtenemos un álgebra. Un caso particular (y que nos interesa especialmente) de extensión de anillos es el siguiente: se dice que el AUC B es extensión cuadrática de otro AUC A si existe un elemento n Î B tal que ( 1,n) es una base del A-módulo B.

    A lo largo de esta sección mostraremos cómo se construye una extensión cuadrática teniendo como objetivo la resolución de ciertas ecuaciones.

1.1.2  Primeras definiciones y resultados

[cuadrado en un anillo] Sea ( A,+, ) un AUC y sea d Î A. Decimos que d es un cuadrado en A si y sólo si existe al menos un x Î A, tal que

Es inmediato comprobar que d es un cuadrado en A si la ecuación

se puede resolver en el anillo A. Esto reduce el problema de encontrar cuadrados al problema de encontrar soluciones para ciertas ecuaciones cuadráticas.

    Todo valor x que verifica la ecuación 2 se llama raíz cuadrada de d. El conjunto de las raíces cuadradas de d en A se nota por Sqrt_A( d) . En resumen, podemos decir que d es un cuadrado si el conjunto Sqrt_A( d) es no vacío.

    Sea Z el anillo unitario y conmutativo de los enteros. Afirmamos que 5 no es un cuadrado en Z. En efecto, la ecuación

x2-5 = 0

(1.3)

no tiene solución en este anillo pues ningún divisor de 5 la satisface (ver al respecto la observación 1). Esto significa que Sqrt_Z( 5) = Æ.

    Si una ecuación de la forma a_nxⁿ+...+a₁x+a₀ = 0 con n Î N y a_i Î Z, siendo a_n ¹ 0, tiene una solución entera k, entonces

ankn+an-1kn-1+...+a1k+a0 = 0,

de donde

a0 = -( ankn+an-1kn-1+...+a1k) , a0 = k( -ankn-1-an-1kn-2-...-a1) .

    La última igualdad nos muestra que k es un divisor de a₀.

    Consideremos un AUC cualquiera ( A,+, ) . La ecuación

x2 = 0

(1.4)

tiene, al menos, la solución x = 0. De esta manera, 0 es un cuadrado en A. En el caso de que exista otra solución x ¹ 0, se deduce que A no es un dominio de integridad (ya que esta otra solución es un divisor de cero).

    Sea R el cuerpo de los números reales. Todo número real d ³ 0 es un cuadrado. En efecto, la ecuación 2 posee exactamente dos soluciones

x1 = +Öd,        x2 = -Öd.

(1.5)

     Esto significa que la ecuación 3 tiene en R las soluciones x = ±Ö5. La raíz positiva x₁ = +Öd se denomina raíz aritmética de d y admite una interesante construcción geométrica con regla y compás (ver figura 1.3).

     Sea E un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna ^. Se llama raíz cuadrada de un elemento u Î E a todo elemento x Î E tal que x^x = u. En el caso de que E sea un anillo la ley escogida es la multiplicativa.

     Como hemos visto en ejemplos anteriores, no podemos garantizar que un elemento cualquiera de un anillo sea un cuadrado en este. Además, en el caso de que así sea, tampoco podemos determinar ``a priori'' el número de sus raíces cuadradas. En este sentido, tenemos el siguiente resultado.

[Raíces cuadradas en un dominio de integridad] Sea ( A,+, ) un AUC sin divisores de cero. Supongamos que d Î A es un cuadrado en A. Entonces, si x es una de las raíces cuadradas de d, también lo es -x y no existe ninguna otra aparte de estas dos.

     Obviamente, si es x² = d también es ( -x) ² = d, en virtud de la regla de los signos (la cual es válida en todo anillo). Sea y Î A tal que y² = d. Se puede escribir entonces x² = y², de donde x²-y² = 0. Esta última expresión puede factorizarse para obtener ( x-y) ( x+y) = 0. De aquí , aplicando el hecho de que A no tiene divisores de cero, se llega a las igualdades y = x, y = -x. Esto demuestra que d no tiene más raíces que las mencionadas x y -x.

     Sea Q el cuerpo de los números racionales. La ecuación

x2-4 = 0

(1.6)

tiene como una solución x = 2. Esto implica que 4 es un cuadrado en Q. Además, todo cuerpo es un dominio de integridad, por lo que aplicando el Teorema 1, se concluye que -2 también es solución de 6 y no hay más soluciones. En símbolos: Sqrt_Q( 4) = { -2,2} .

    Dado un AUC y un elemento d de dicho anillo que no sea un cuadrado, nos podemos preguntar si existe algún otro AUC, extensión del primero, y donde d sí tenga raíz cuadrada. En el ejemplo 1, vimos como 5 no es un cuadrado en Z, mientras que en el ejemplo 3, comprobamos que tal número sí era un cuadrado en R É Z. Evidentemente, R es extensión de Z, pero no hemos formado uno a partir de otro sino que los hemos supuesto dados. A lo largo de los párrafos siguientes mostraremos cómo pretendemos hacer una construcción, siempre teniendo presente nuestro objetivo de resolución de la ecuación cuadrática x²-d = 0 (como ya adelantamos en la introducción).

[d-extensión cuadrática] Sea A un AUC y sea d Î A. Decimos que un AUC S es una d-extensión cuadrática de A si cumple:

1. Existe un monomorfismo de AAUUCC j:A® S.

2. El elemento j( d) Î S es un cuadrado en S.

     La existencia de un monomorfismo j permite identificar el anillo A con el subanillo j( A) Ì S. Así, A está incluido en S vía el monomorfismo j.

    Recordaremos que en la introducción mencionamos de una forma diferente la noción de extensión cuadrática. Más adelante, mostraremos que la definición 2 es compatible con esa primera definición.

[Construcción de una d-extensión cuadrática] Sea A un AUC y sea d Î A. El conjunto

A2 = { ( a,b) : a,b Î A}

(1.7)

dotado de las operaciones

( x,y) +( x¢,y¢) = ( x+x¢,y+y¢) ,

(1.8)

( x,y) ( x¢,y¢) = (xx¢+dyy¢,xy¢+yx¢)

(1.9)

es una d-extensión cuadrática de A.

    La definición de las operaciones de suma y producto permite constatar de forma sencilla que A² es un AUC con cero 0 = ( 0,0) y uno 1 = ( 1,0) . Además, la aplicación

j:A ' x® ( x,0) Î A2

(1.10)

es un monomorfismo de estos anillos. Finalmente, el elemento j(d) = ( d,0) es un cuadrado en A², ya que

( 0,1) ( 0,1) = ( d,0) ,

(1.11)

y esto implica que Sqrt_{A[ Öd]} ( d,0) ¹ Æ. Aquí concluye la demostración.

     El monomorfismo 10 se llama monomorfismo canónico y permite el siguiente abuso de notación

x = ( x,0) .

(1.12)

     Es decir, identificamos los elementos de A con los elementos de A² que tienen la segunda componente nula. La notación para A² como d-extensión cuadrática de A será A[ Öd] . Utilizando 12 y la igualdad 11 se tiene que

( 0,1) Î SqrtA[ Öd] ( d) .

     El AUC A[ Öd] es un A-módulo libre de tipo finito.

    Sabemos que ( A[ Öd] ,+) es un grupo abeliano. Sólo resta definir la aplicación

t( x,y) = ( tx,ty) , donde   t Î A y  ( x,y) Î A[ Öd] .

(1.13)

     Los elementos ( 1,0)  y ( 0,1) forman un sistema generador y libre y esto prueba nuestro teorema. Por otro lado, es interesante verificar que ( t,0) ( x,y) = (tx,ty) , y esto permite considerar que este producto por escalares se hace con elementos del subanillo j( A) .

    Haciendo 1 = ( 1,0) (ver 12) y n = ( 0,1) , se tiene que A[ Öd] es una extensión cuadrática de A en el sentido que hemos precisado en la introducción. Además, como es

( x,y) = x( 1,0) +y( 0,1) .

(1.14)

Se puede escribir

( x,y) = x+yn.

(1.15)

     En lugar de n emplearemos el simbolo más sugerente del radical Öd. Es decir,

( x,y) = x+yn = x+yÖd.

(1.16)

    Este símbolo no debe confundirse con el radical común (que es el empleado en el ejemplo 3). Con esta notación podemos comprobar que las operaciones 8 y 9 se pueden realizar de manera directa como si se tratara de expresiones con números reales. En efecto,

( x+yÖd) +( x¢+y¢Öd) = ( x+x¢) +( y+y¢) Öd

( x+yÖd) ( x¢+y¢Öd) = ( xx¢+dyy¢) +( xy¢+yx¢) Öd.

     Utilizando la expresión del producto podemos demostrar por inducción que

( x+yÖd) n = n å k = 0  \binomnkxn-k( yÖd) k.

    En esta expresión se considera que ( Öd) ^k = (0,1) ^k. Es decir

( Öd) 0 = ( 0,1) 0 = ( 1,0) = 1,

( Öd) 2 = ( 0,1) 2 = ( d,0) = d,

( Öd) 3 = ( 0,1) 3 = ( 0,1)2( 0,1) = ( d,0) ( 0,1) = (0,d) ,

¼

    Si el AUC del Teorema 3 es un cuerpo K, entonces K[ Öd] es un álgebra asociativa, conmutativa, unitaria y bidimensional sobre K.

    Dejamos la demostración de este corolario al cuidado del lector.

[Conjugado] Sea z = ( x,y) un elemento del módulo A[ Öd] . Decimos que el conjugado de z es el valor

_ z   = ( x,-y) .

(1.17)

     Si utilizamos 16, podemos dar la expresión siguiente para [`(z)]:

_ z   = x-yÖd.

(1.18)

     Consideremos el AUC Z y la 5-extensión cuadrática que notamos por Z[ Ö5] . El conjugado de (1,2) Î Z[ Ö5] es ( 1,-2) . También podemos escribir que el conjugado de 1+2Ö5 es 1-2Ö5.

     Los elementos de la forma ( x,0) , pertenecientes al subanillo j( A) Ì A[ Öd] , tienen por conjugados a ellos mismos: [`(( x,0) )] = ( x,-0) = (x,0) .

    Mediante los conjugados vamos a definir un automorfismo en A[Öd] .

[La conjugación como automorfismo] La aplicación

C:A[ Öd] ' z® _ z   Î A[ Öd]

(1.19)

es un automorfismo de módulos.

    Debemos demostrar que se trata de un homomorfismo biyectivo. En primer lugar, si son z = ( x,y) , z^¢ = ( x^¢,y^¢) , tenemos

(1.20)

C( z+z¢) = C( ( x+x¢,y+y¢) ) = ( x+x¢,-( y+y¢) ) = = = ( x+x¢,-y-y¢)= ( x,-y) +(x¢,-y¢) = C( ( x,y) ) +C(( x¢,y¢) ) = C( z) +C(z¢)

     (Obsérvese que empleamos la notación C( z) en lugar de la notación [`(z)], con el fin de resaltar el carácter de aplicación). Del mismo modo,

C( zz¢) = C( z) C( z¢) .

(1.21)

     Estas dos propiedades nos aseguran que se trata de un homomorfismo de módulos. En particular, utilizando 21, se tiene

C( t( x,y) ) = C( ( t,0) (x,y) ) = = C( ( t,0) ) C( (x,y) ) = ( t,0) C( x,y) = tC(x,y) .

(1.22)

     Ahora probaremos que se trata de una biyección. En efecto, el núcleo de este homomorfismo es el conjunto

kerC = { ( x,y) Î A[ Öd] \diagup(x,-y) = ( 0,0) }

(1.23)

y es inmediato comprobar que sólo tiene un elemento: ( 0,0) . Esto nos muestra que C es un homomorfismo inyectivo. Por otro lado, resulta que

C( C( ( x,y) ) ) = ( x,y) .

(1.24)

     Es decir, que la conjugación es involutiva. Este detalle es el que nos sirve para asegurar la sobreyectividad ya que, para cada (x,y) Î A[ Öd] , es suficiente tomar el elemento

C( ( x,y) ) Î A[ Öd]

(1.25)

para asegurar que ( x,y) Î \funcIm( C) . Esto pone punto final a nuestra demostración.

     Un conjunto que usaremos a menudo como referencia es Q[ Ö2] como módulo sobre Q. Sus elementos son de la forma

x+yÖ2,    x Î Q,    y Î Q.

(1.26)

     Así, por ejemplo, el conjugado de 2-¹/₃Ö2 será 2+¹/₃Ö2. En este anillo, es posible encontrar raíces cuadradas para 2 ya que

( 0,1) ( 0,1) = ( 0·0+2·1·1,0·1+1·0) = ( 2,0) = 2.

(1.27)

     El conjunto A[ Öd] es, en todo caso, un AUC. Sin embargo, es muy interesante concretar bajo qué condiciones se puede afirmar que es un cuerpo. Con este fin, damos la siguiente definición.

[Norma canónica] La aplicación p definida por

p:A[ Öd] ' z® z z   Î A

(1.28)

se denomina norma canónica asociada al A-módulo A[ Öd] .

     Observamos que la norma canónica es un valor del subanillo j(A) = A. En efecto, si es z = ( x,y) , se tiene

z z   = ( x,y) ( x,-y) = (x2-dy2,0) = x2-dy2.

(1.29)

     Calculamos la norma canónica de ¹/₂-Ö2 Î Q[Ö2] mediante

æ ç è 1 2 -Ö2 ö ÷ ø æ ç è 1 2 +Ö2 ö ÷ ø = 1 4 -2 = -7 4 .

[Propiedades de la norma canónica] La norma canónica verifica

1. p( zz^¢) = p(z)p(z^¢),        "z,z^¢ Î A[ Öd] .

2. p( ( 1,0) ) = 1.

    En efecto, sean z,z^¢ Î A[ Öd] . Por definición de norma canónica y utilizando las propiedades del automorfismo conjugación y la asociatividad y conmutatividad del producto se tiene (1.30)

p( zz¢) = ( zz¢) (zz¢)   = ( zz¢) æ è _ z   z¢   ö ø = æ è z z   ö ø æ è z¢ z¢   ö ø = p(z)p(z¢)

    Finalmente, como los elementos de la forma ( x,0) son invariantes por conjugación, podemos escribir

p( ( 1,0) ) = ( 1,0) (1,0)   = ( 1,0) ( 1,0) = ( 1,0) = 1.

(1.31)

    Esto termina nuestra prueba.

    Consideremos los elementos 1+³/₄Ö2 y 5-Ö2 pertenecientes a Q[ Ö2] . Los valores de sus normas canónicas son, respectivamente:

p æ ç è 1+ 3 4 Ö2 ö ÷ ø = 12-2· æ ç è 3 4 ö ÷ ø 2   = 1- 18 16 = - 1 8 ,

p( 5-Ö2) = 52-2·12 = 23.

Su producto es

æ ç è 1+ 3 4 Ö2 ö ÷ ø ·( 5-Ö2) = 7 2 + 11 4 Ö2.

     Y la norma del producto vale

p æ ç è 7 2 + 11 4 Ö2 ö ÷ ø = æ ç è 7 2 ö ÷ ø 2   -2· æ ç è 11 4 ö ÷ ø 2   = - 23 8 .

    Comprobamos que el producto de las normas canónicas

p æ ç è 1+ 3 4 Ö2 ö ÷ ø p( 5-Ö2) = - 1 8 ·23

es igual a la norma canónica del producto

p æ ç è æ ç è 1+ 3 4 Ö2 ö ÷ ø ·( 5-Ö2) ö ÷ ø = p æ ç è 7 2 + 11 4 Ö2 ö ÷ ø = -23 8 .

    En el Z-módulo Z[ Ö5] planteamos la ecuación

p( z) = 0,

(1.32)

donde p es la norma canónica en Z[ Ö5] . Si hacemos z = ( x,y) , esta ecuación queda en la forma

p( z) = p( ( x,y) ) = x2-5y2 = 0.

(1.33)

     No debemos olvidar que en este módulo las soluciones x e y han de ser enteras, por lo que la ecuación anterior es diofántica y sólo posee la solución trivial x = y = 0. En efecto, supongamos que existe una solución no trivial; por ejemplo, ( x,y) con x e y enteros y además y ¹ 0. En ese caso

x2-5y2 = 0Þ x2 = 5y2Þ x2 y2 = 5Þ æ ç è x y ö ÷ ø 2   = 5.

(1.34)

    Como Ö5 es irracional, llegamos a un absurdo y nuestra suposición y ¹ 0 ha de ser falsa. Por tanto y = 0 y de aquí se sigue que también es x = 0.

Sea A un AUC. Se dice que un elemento a Î A es unidad si podemos hallar otro elemento a^-1 Î A (al que llamamos inverso) tal que aa^-1 = 1. El conjunto de las unidades de A se nota por U( A) y a él pertenece siempre el uno del anillo. Un AUC es un cuerpo conmutativo cuando U( A) = A-{ 0} . El siguiente teorema nos permite determinar las unidades de la d-extensión A[ Öd] .

[Caracterización de las unidades en la d-extensión cuadrática.] Sea A un AUC y sea A[ Öd] su d-extensión cuadrática. Afirmamos que z Î A[ Öd] es una unidad si y sólo si su norma canónica p( z) Î A es una unidad.

    Supongamos que z es unidad en A[ Öd] . En tal caso existe z^-1 tal que

zz-1 = 1.

(1.35)

     Aplicando la norma canónica a ambos miembros de la igualdad 35 se tiene

p( zz-1) = p( 1) Þ p(z)p(z-1) = 1.

(1.36)

     Esto permite afirmar que p( z) es una unidad en A con inverso p( z^-1) , es decir p( z) ^-1 = p(z^-1) .

     Supongamos ahora que p( z) es una unidad en A. Existe entonces p( z) ^-1 Î A tal que

p( z) p( z) -1 = 1.

(1.37)

    Desarrollando la norma cuadrática, resulta

p(z)p( z) -1 = 1Þ æ è z z   ö ø p(z) -1 = 1Þ z æ è _ z   p( z) -1 ö ø = 1.

(1.38)

    De esta igualdad concluimos que z es unidad con inverso [`(z)]p(z) <sup>-1</sup>, esto es, z<sup>-1</sup> = [`(z)]p( z) ^-1. Esto termina nuestra demostración.

    El siguiente corolario nos muestra la profunda relación existente entre las unidades de la d-extensión de un cuerpo y la norma canónica.

    Sea K es un cuerpo conmutativo. Entonces z Î K[ Öd] es una unidad si y sólo si p( z) ¹ 0.

     En el caso de que z sea una unidad, tenemos que p( z) Î K es una unidad (ver teorema 6) lo que nos lleva a afirmar que p(z) ¹ 0, pues el cero del cuerpo es el único de sus elementos no invertible. El recíproco es evidente.

     Finalmente, el corolario siguiente nos proporciona una condición necesaria y suficiente para que una d-extensión de un cuerpo sea a su vez un cuerpo.

    Sea K un cuerpo conmutativo. Entonces la d-extensión cuadrática K[ Öd] es también un cuerpo si y sólo si la ecuación p( z) = 0 tiene como única solución la trivial z = 0.

    En efecto, de acuerdo con el colorario 2 es U( K[ Öd]) = { z\diagup p( z) ¹ 0} . Si la ecuación p( z) = 0 tiene como solución única z = 0, entonces U( K[ Öd] ) = K[ Öd]-{ 0} y K[ Öd] es un cuerpo. El recíproco es análogo.

    Probaremos que el conjunto Q[ Ö2] es un cuerpo. En primer lugar, sabemos que Q es un cuerpo conmutativo por lo que es aplicable el colorario 3. Dado z = ( x,y) Î Q[Ö2] , la ecuación p( z) = 0 se plantea como

x2-2y2 = 0.

(1.39)

Esta ecuación sólo tiene la solución trivial x = 0,  y = 0. En efecto, si suponemos y ¹ 0, se tiene

x2-2y2 = 0Þ x2 = 2y2Þ æ ç è x y ö ÷ ø 2   = 2.

(1.40)

    Tanto x como y son números racionales por lo que su cociente ^x/_y también es racional y de aquí Ö2 es racional. Esto es absurdo, por lo que y = 0. Por último, esta igualdad también implica que x = 0.

    Partimos del AUC Z[ Ö5] . En este anillo no son aplicables ninguno de los corolarios 2 y 3 ya que Z no es un cuerpo. Utilizamos, pues, el teorema 6 para determinar las unidades de la 5-extensión cuadrática. En primer lugar, las unidades de Z son 1 y -1 (esto es sencillo de comprobar). Por tanto, las unidades de Z[ Ö5] son las soluciones de las ecuaciones

p(z) = 1

(1.41)

p( z) = -1

(1.42)

    Desarrollaremos la primera de ellas

p( z) = 1Þ x2-5y2 = 1.

(1.43)

    Esta ecuación diofántica tiene, al menos, las soluciones ( 1,0) ,  ( -1,0) . Pero, tiene alguna otra? La respuesta a esta pregunta es díficil y pasa por considerar algunos resultados de Matemática Discreta. El primero de ellos es el siguiente:

``Para cualquier entero positivo N, tal que ÖN es irracional, la ecuación

x2-Ny2 = 1

(1.44)

tiene solución x₀,y₀ no trivial, x₀ > 0, y₀ > 0''.

     Como Ö5 es irracional, podemos aplicar el teorema anterior y afirmar que existe alguna solución añadida a las conocidas (1,0) , ( -1,0) . Para hallarla, hemos representado en el plano xy la curva que tiene como ecuación implícita x²-5y²-1 = 0, ya que los puntos de esta curva son las soluciones reales de 43. Inspeccionando el grafo (ver figura 1.4) observamos que contiene al punto de coordenadas enteras positivas ( 9,4) . En consecuencia, tal punto es solución de 43. El segundo resultado que empleamos es otro teorema:

``Cualquier solución de la ecuación x²-Ny² = 1, siendo N > 0 y ÖN irracional, tiene la forma:

xn = 1 2 [ ( x0+y0ÖN) n+(x0-y0ÖN) n] , (1.45) yn = 1 2ÖN [ ( x0+y0ÖN)n-( x0-y0ÖN) n] ,

siendo n Î N y x₀, y₀ una solución con x₀, y₀ > 0 , de manera que el binomio x₀+y₀ÖN adquiere el menor valor posible''.

     Es evidente que ( 9,4) es la solución positiva que hace mínimo el binomio x₀+y₀Ö5 por lo que las soluciones de 43 serán de la forma

xn = 1 2 [ ( 9+4Ö5) n+( 9-4Ö5) n] , (1.46) yn = 1 2Ö5 [ ( 9+4Ö5) n-( 9-4Ö5) n] .

    Por ejemplo, para n = 2, tenemos

x2 = 1 2 [ ( 9+4Ö5) 2+( 9-4Ö5) 2] = 161, (1.47) y2 = 1 2Ö5 [ ( 9+4Ö5) 2-( 9-4Ö5) 2] = 72.

    Y podemos comprobar que este par de valores es una solución

1612-5·722 = 1.

(1.48)

    Para terminar, la ecuación 42 no tiene solución (para una explicación detallada remitimos al lector al apéndice III). Las unidades de Z[ Ö5] son el conjunto

U( Z[ Ö5] ) = { ( 1,0),( -1,0) } È{ ( xn,yn) \diagupn Î N} ,

(1.49)

donde ( x_n,y_n) son los valores obtenidos en 46. Este conjunto no coincide con el anillo Z[ Ö5] por lo que éste no es un cuerpo.

     Sean K un cuerpo conmutativo y d Î K. Son equivalentes

1. d no es un cuadrado en el AUC A.

2. La ecuación p( z) = 0 sólo tiene la solución trivial en K[ Öd] .

3. K[ Öd] es un cuerpo conmutativo.

    El Corolario 3 nos prueba que 2Þ 3. Sólo nos resta probar 1Þ 2 y 3Þ 1. Supongamos que d no es un cuadrado en K. Si planteamos en K[ Öd] la ecuación p(z) = 0, obtenemos la expresión x²-dy² = 0. Si es y ¹ 0, entonces

d = x2 y2 = æ ç è x y ö ÷ ø 2   .

(1.50)

     Pero esto supone que d es un cuadrado y está en contradicción con nuestra hipótesis de partida. En consecuencia y = 0, de donde también x = 0. Hemos probado que 1Þ 2.Supongamos que K[ Öd] es un cuerpo conmutativo. En tal caso, utilizando el Corolario 3, la ecuación p( z) = 0 sólo tiene solución trivial en K[ Öd] . Si d ¹ 0 es un cuadrado en K y a es una de sus raíces cuadradas, será a ¹ 0 y también

a2-d = 0.

(1.51)

    Y de aquí, la ecuación x²-dy² = 0 tiene la solución no trivial ( a,1) . Obtenemos una contradicción de nuestra hipótesis y, en consecuencia, d no es un cuadrado en K. Hemos probado que 3Þ 1 y esto acaba la demostración del teorema.

     Supongamos que n Î Z⁺ no es un cuadrado perfecto. En tal caso, la d-extensión cuadrática Q[ Öd] es un cuerpo. De esta forma, para d = 2, 3, 5, 7,8,9,10 11,¼ se puede afirmar que tal conjunto es un cuerpo conmutativo.

En R ningún número negativo es un cuadrado. Así para d < 0 , tenemos que R[ Öd] es un cuerpo conmutativo.

1.1.3  Construcción de los complejos como extensión cuadrática

    En esta subsección aplicamos los resultados de la anterior. Partimos de la imposibilidad de resolver la ecuación

x2+1 = 0

(1.52)

en el cuerpo de los números reales. Esto significa que d = -1 no es un cuadrado en R. En símbolos

SqrtR( -1) = Æ.

(1.53)

    Aplicando el Teorema 2, el conjunto R² con las operaciones

( x,y) +( x¢,y¢) = (x+x¢,y+y¢) , (1.54) ( x,y) ( x¢,y¢) = ( xx¢+( -1) yy¢,xy¢+yx¢)

es una ( -1) -extensión cuadrática que notamos por R[ Ö[(-1)]] . En efecto, este conjunto es un AUC y la aplicación

j:R ' x® ( x,0) Î R é ë   __ Ö-1   ù û

(1.55)

es un isomorfismo de anillos unitarios y conmutativos entre R y el subanillo j( R) = { ( x,0) \diagup x Î R} . Además en R[ Ö[(-1)]] sí es posible resolver 52. Concretamente, ( 0,1) es una solución: (1.56)

( 0,1) 2 = ( 0,1) ( 0,1) =  =( 0·0+( -1) ·1·1,0·1+1·0) = (-1,0) = -1.

Es decir,

( 0,1) Î SqrtR[ Ö[(-1)]] ( -1).

(1.57)

    A partir de ahora, escribimos

( 0,1) = i

(1.58)

para denotar a esta raíz cuadrada de ( -1) y decimos que i es la unidad imaginaria. Por otro lado, con el ``producto'' (1.59)

t( x,y) = ( t,0) ( x,y) = ( tx,ty),  donde   t Î R y  ( x,y) Î R é ë   __ Ö-1   ù û ,

se obtiene una álgebra asociativa, conmutativa, unitaria y bidimensional sobre R (ver el Corolario 1). La base de R[ Ö[(-1)]] como R-espacio vectorial es

B = ( ( 1,0) ,( 0,1) ) .

(1.60)

     Utilizando los abusos de notación comunes tal base se escribe en la forma

B = ( 1,i) .

(1.61)

     Esto significa que cada elemento z = ( x,y) de R[Ö[(-1)]] puede expresarse la forma

z = ( x,y) = x+iy,   x,y Î R.

(1.62)

     De esta manera, las operaciones 54 se realizan como si se trabajara con polinomios en i. En efecto,

( x+iy) +( x¢+iy¢) = (x+x¢) +i( y+y¢) , (1.63) ( x+iy) ( x¢+iy¢) = (xx¢+i2yy¢) +i( xy¢+yx¢) .

    Para cada z = x+iy su conjugado es

_ z   = x-iy.

(1.64)

     Y la norma canónica asociada a R[ Ö[(-1)]] es

p( z) = z z   = ( x+iy) ( x-iy) = x2+y2.

(1.65)

    Como R es un cuerpo, podemos aplicar el Teorema 7 para deducir que R[ Ö[(-1)]] es también un cuerpo conmutativo. Particularmente, el inverso de z ¹ 0 es

z-1 = p( z) -1 _ z   = 1 x2+y2 ( x-iy) = x x2+y2 -i y x2+y2 .

(1.66)

    También se deduce que el monomorfismo canónico a 55 es un monomorfismo de cuerpos. Resumiendo:

• R[ Ö[(-1)]] es un AUC donde tiene solución la ecuación x²+1 = 0.

• R[ Ö[(-1)]] es un álgebra asociativa, conmutativa, unitaria y bidimensional sobre R.

• R[ Ö[(-1)]] es un cuerpo conmutativo que tiene como subcuerpo a R.

    Al conjunto R[ Ö[(-1)]] con todas estas propiedades lo llamamos cuerpo de los números complejos y lo notamos por C. La expresión z = ( x,y) se llama forma cartesiana y la expresión z = x+iy forma binómica del complejo z.

Vamos a calcular el valor de iⁿ. En primer lugar, obtenemos algunas potencias

i0 = ( 0,1) 0 = 1,

(1.67)

i1 = ( 0,1) 1 = ( 0,1) = i,

(1.68)

i2 = ( 0,1) 2 = ( -1,0) = -1,

(1.69)

i3 = ( 0,1) 3 = ( 0,1) 2( 0,1) = (-1,0) ( 0,1) = ( 0,-1) = -i,

(1.70)

i4 = ( 0,1) 4 = ( 0,1) 2( 0,1)2 = ( -1,0) ( -1,0) = ( 1,0) = 1,

(1.71)

i5 = ( 0,1) 5 = ( 0,1) 4( 0,1) = (1,0) ( 0,1) = ( 0,1) = i.

(1.72)

     Observamos que la potencia cuarta es la misma que la potencia cero y que la potencia quinta es la misma que la potencia uno. Esto sugiere que las potencias enteras no negativas de la unidad imaginaria se repiten siguiendo un período de longitud cuatro. Para probar esto utilizamos la división euclídea por cuatro.

Sea n un entero no negativo. Entonces

n = 4k+r,

(1.73)

donde r es un entero entre 0 y 3, ambos inclusive. La igualdad 73 permite escribir

in = i4k+r = ( i4) kir = 1·ir = ir

(1.74)

    Así toda potencia entera no negativa de i es igual a alguno de los valores 67, 68, 69 o 70

[Parte real y parte imaginaria] Sea z = ( x,y) un número complejo. Decimos que x es su parte real e y su parte imaginaria y escribimos

x = Âz,

(1.75)

y = Áz.

(1.76)

     La parte real del complejo z = 3-i es 3 y su parte imaginaria -1. Es decir,

Â( 3-i) = 3,     Á( 3-i) = -1.

(1.77)

     Utilizando la definición 5 podemos afirmar que un número complejo w es conjugado de otro número complejo z si y sólo si tiene la misma parte real y opuesta parte imaginaria

w = _ z   Û ( Âw = Âz) Ù( Áw = -Áz) .

(1.78)

     Sea z un número complejo. Son válidas las igualdades

Âz = z+ _ z   2 ,   Áz = z- _ z   2i .

(1.79)

     Sean z = x+iy,  [`(z)] = x-iy. Entonces

z+ _ z   2 = ( x+iy) +( x-iy) 2 = 1 2 ( 2x) = x = Âz.

(1.80)

     Por otro lado,

z- _ z   2i = ( x+iy) -( x-iy) 2i = 1 2i ( 2iy) = y = Áz.

(1.81)

     La prueba ha terminado.

    Se dice que z Î C es real si su parte imaginaria es cero. En el caso de que su parte imaginaria sea cero se dice entonces que es imaginario puro.

En el cuerpo de los números complejos no sólo ( -1) es un cuadrado. Afirmamos que todo complejo es un cuadrado.

La ecuación x²-d = 0 tiene solución en C para todo d Î C.

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