Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial,
siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos
alimenticios, con el costo en bolívares para así saber cuánto
podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta
correspondencia en una ecuación de función “x” como el precio
y la cantidad de producto como “y”. Un médico “x” atiende a un
paciente, esto se puede materializar utilizando una línea que
una el punto que corresponde al médico y el conjunto de pacientes
atendidos que es “y”.
FUNCIÓN AFÍN
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo
en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan
en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la
demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis
económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier
producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible.
Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado
que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles
de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una
relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del
artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda
se llama curva de demanda lineal.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal
en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso
de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos.
El resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación
de información es que el tiempo de reacción de una persona R,
en milisegundos, es estadísticamente función lineal del tamaño
del conjunto de memoria N en los siguientes términos R = 38N +
397.
FUNCIÓN CUADRÁTICA
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de
interés no sólo en matemática sino también en física y en otras
áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una
pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al
caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda
floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido
desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una
partícula es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver
problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación
de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que
se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos
torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para
estudiar los efectos nutricionales de los organismos. Por ejemplo,
el análisis del efecto nutricional en ratas que se alimentaron
con una dieta que contenía cierto porcentaje de proteína. La proteína
consistió en yema de huevos y harina de maíz. Al variar el porcentaje
P de yema en la mezcla de proteína, el grupo de investigadores
estimó el aumento promedio en peso (en gramos) de un animal durante
un cierto periodo fue F(p) en donde: F(p)= 1/50p2 +
2p + 20, 0£P£100
Existen fenómenos físicos que el hombre a través
de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias
han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos
la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar
que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba
desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2,
donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de
la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La geología como ciencia requiere del planteamiento
de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de
un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un
terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala
de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante.
(A es la amplitud de un sismógrafo estándar, localizado a 100
kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos utilizan ciertos cálculos de carácter
logarítmico para determinar una magnitud estelar de una estrella
o planeta, ellos utilizan la siguiente ecuación: M= -(5/2)Log
(B/B0), donde B es la brillantez y B0 es
una constante. Se concluye que la magnitud (M) está dada en función
de una ecuación logarítmica.
En la física la función logarítmica tiene muchas
aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del
volumen “L” en decibeles de un sólido, para el cual se emplea
la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I
es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad
de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido
más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo).
Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Se aplica a la química y física. En algunos elementos
radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con
respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que
el elemento decrece o decae. Si N es la cantidad al tiempo, entonces
se puede demostrar que : N = N0 e -lt
, donde N0 y l
son las constantes positivas de decrecimiento al tiempo requerido
para que se produzca a la mitad la cantidad inicial del elemento
que se denomina semi-vida. Observe que N implica una función exponencial.
Además se dice que N sigue la ley exponencial de decrecimiento,
si t=0 entonces N= N0e -l(0)
= N0e0 = N01 = N0,
así la constante N0 representa la cantidad de elemento
que esta presente al tiempo t=0 y la constantel
depende del elemento particular implicado y se llama constante
de decrecimiento o de decaimiento. En la química, el PH de una
sustancia se define como : H = -Log [H+],
donde [H+]
es la concentración de iones de una sustancia expresada en moles
por litro. El PH del agua destilada es 7. Una sustancia con un
PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor
que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente
el PH del agua de lluvia debido al efecto dañino de la “lluvia
ácida” que se origina por las emisiones de dióxido de azufre de
las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.
Otras de la aplicación de las funciones exponencial
fue con el descubrimiento del Polonio (elemento radioactivo )
descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de
acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde
m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al
cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.
El crecimiento poblacional (Demografía) de una región
o población en años, parece estar sobre una curva de característica
exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: N = N0
ekt, donde N0 es la población inicial, t
es el tiempo transcurrido en años y k es una constante. (En 1798,
el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N
= N0 ekt era válida para determinar el crecimiento
de la población mundial y estableció, además, que como la cantidad
de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver
el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto
tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial
de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo
Malthusiano).
En la medicina, muchos medicamentos son utilizados
para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue
una ley exponencial de disminución, si N es la cantidad de fármaco
presente en el cuerpo al tiempo t, entonces N = N0
e-kt, en donde k es una constante positiva y N0
es la cantidad presente al tiempo t= 0.
En Matemática Financiera (Administración), para el
cálculo de interés compuesto se emplean las funciones exponenciales.
Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial de
dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%.
Al final del primer año se tendrá el capital inicial más lo que
se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa
por n años, la expresión que se obtiene está dada por: P= P0
(1+i)n, donde P es el capital final si los intereses
se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital
inicial, i es la rata de interés (anual, mensual, diaria) y n
es el período de tiempo (año, meses, días, etc.). En la relación
anterior la base de la función exponencial es (1+i), donde la
cantidad i es la rata que es mayor que cero (i>0)
y n es el tiempo transcurrido en año, meses o días. n es una cantidad
real positiva (n Î
R+).
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente,
para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones
problemáticas en otras ciencias.
En Topografía se puede determinar la altura de un
edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre
de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente;
debido a ello ésta se aparta cada ves más de su vertical. Originalmente
tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. En 1990 un observador
situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un
ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador
para determinar al desplazamiento (hundimiento en el suelo es
muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley
del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del
coseno para determinar el desplazamiento de la torre.
En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando
un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material. Se ha determinado
que el rayo de salida es paralelo al de entrada, se puede determinar
mediante la fórmula b=
tg-1 (tga
- seca), donde
t es el espesor de la placa, a
es el ángulo de incidencia y b
es el ángulo de refracción.
En la Aviación, si dos aviones parten de una base
aérea a la misma velocidad formando un ángulo b
y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia
que se encuentran entre los mismos.
El capitán de un barco puede determinar el rumbo
equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando modificar
el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino
correcto.
La terminología asociada a las funciones se debe
al matemático alemán J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien
escribió: “Una variable es un símbolo que representa un número
dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas
de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna
regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a
Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X,
a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente,
mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se
llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen
el dominio de definición de la función y los valores que toma
Y constituye su recorrido”. Si H es la semi-vida de tal medicamento,
entonces H= (ln2)/k.
