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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ Dos es Tres. Solución
.: Juegos :.
Desmayos de la razón (I). Solución
Dos es Tres

    Este problema era demasiado simple, como se ha comprobado experimentalmente: todas las respuestas recibidas hasta hoy (cuarenta y seis) eran correctas. La respuesta es, como dice la primera que recibí de Oriol Martín:

    1+a-b=0, luego no podemos cancelar, pues estaríamos diciendo que 0 ·2 = 0 ·3 implica que 2=3

    Ya está. Dicho de otra forma, la división por cero no tiene sentido.

    Aparte de esto, es curioso ver cómo están hechos siempre este tipo de razonamientos falsos. Si intentáis hacerlo vosotros veréis que para ocultar el hecho de que se divide por cero y obtener algo falso partiendo de una igualdad verdadera hace falta pasar por una ecuación de segundo grado, y desde luego hay muchas formas de hacerlo. ¿Por qué de segundo grado?. El significado de la primera ecuación que aparecía en el problema no es más que "b es más grande que a en una unidad". La segunda ecuación, una vez que hemos multiplicado por a-b, no dice lo mismo que la primera. Ésta es más débil. Dice: "o bien ocurre lo de antes, o bien a es igual que b". Más tarde, dividir por 1+a-b es lo mismo que decirle a la ecuación que no ocurre que b sea más grande que a en una unidad (porque sólo se puede hacer si esta cantidad no es cero). La ecuación nos responde que entonces no queda más opción que a=b.

    ¿Por qué no se puede dividir por cero? ¿Por qué eso no está definido? Después de todo, uno puede definir lo que quiera. Podemos decir, si queremos, que cualquier número dividido por cero va a valer siete de ahora en adelante. La verdadera pregunta es, ¿serviría eso de algo?. No arreglaría nada, por supuesto. La utilidad de las operaciones es el poder hacer cosas con ellas y encontrar reglas de las que deducir algo, como por ejemplo la regla de cancelación que se menciona en la respuesta. Con la definición de que al dividir por cero cualquier cosa el resultado es siete esta regla no es cierta porque en ese caso a ·0 dividido por cero da 7 y no da a. Bueno, esta definición no sirve. Eso no quiere decir que no haya ninguna que sirva. A lo mejor podemos encontrarla pensando un poco más, una no tan tonta como la del siete, y conseguir que se mantenga la regla de cancelación. Tal vez infinito. Tal vez es que los matemáticos no la han encontrado todavía, y será un gran descubrimiento cuando alguien lo haga. ¿Lo ha intentado alguien?

    ¡No hay ninguna definición posible de la división por cero que vaya a hacer que esta regla siga siendo válida en ese caso precisamente porque en ese caso llegaríamos a contradicciones como la del problema!. Entonces este problema no es sólo un juego curioso: es en sí una demostración de que eso no se puede hacer si queremos seguir siendo coherentes. Muchas otras reglas útiles son imposibles de conservar en la división por cero.

    Sin embargo, como he dicho antes, no hay nada que nos impida definirlo si eso va a resultar útil para algo. Por ejemplo, al escribir las transformaciones de Möbius en el plano complejo a veces es conveniente decir que un número no nulo dividido por cero es infinito; esta afirmación tiene un sentido preciso cuando se entienden estas transformaciones como transformaciones de la compactificación del plano complejo. Si esta última frase te ha parecido de ciencia-ficción no te preocupes: era sólo para mencionar el ejemplo, aunque a lo mejor otro día podemos hablar de eso.

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