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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ Como jugar a Sherlock Holmes. Solución
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Como jugar a Sherlock Holmes. Solución

    En realidad, este es un tipo de problema muy conocido, pero está planteado intentando ocultar los datos necesarios para resolverlo. Además de resolverlo, hay que separar lo que es relevante para la solución y lo que no lo es; por ejemplo, en este caso es importante saber que Amparo se va a la playa de Chiclana y no a la de Tarifa, porque  eso nos permite deducir que... No, es broma. Eso no era importante. Resumiré ahora las soluciones que se han enviado y luego daré una explicación más técnica del problema.

    Solución

    La primera solución que me llegó fue de Javier López Peña, un colega de facultad en Granada, que era correcta y usaba un método general pero que reservaré para la parte técnica. La siguiente solución es de José Antonio Blázquez:

  • (*) Como Amparo nació un 29 de febrero sabemos que en el año 2000, el  último bisiesto hasta el momento, cumplió una edad múltiplo de cuatro, es decir, actualmente, junio de 2001, tiene una edad que es múltiplo de cuatro más uno.

  • (*) Como desde los 14 años cada tres años va a Chiclana y este año le toca, su edad menos 14 debe ser múltiplo de 3.

  • (*) Como desde los 18 años renueva el DNI de forma puntual cada cinco años, su edad actual menos 18 debe ser múltiplo de cinco.

  • De la primera condición, teniendo en cuenta además que es mayor de edad, su edad podría ser 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65 .....

  • Por la segunda condición de las edades anteriores sólo son posibles 29, 41, 53, 65, 77, 89, 101, 113, 125, 137,...

  • Para finalizar, por la tercera condición sólo quedarían 53, 113, 173, ...

  • Teniendo en cuenta que todavía viven los padres de Amparo y que pasar de cien años es actualmente poco frecuente, la edad buscada es 53 AÑOS.

    Con asteriscos (*) he marcado los tres datos que había que extraer para resolver del problema. Varias de las respuestas que he recibido usaban sólo dos de ellas, y entonces hay duda entre dos posibles edades; no tenemos otra forma de decidir que no sea usar el resto de la información.

    Solución técnica

    Decía antes que esto es parte de un problema mucho más general que al fin y al cabo no es más que el de resolver un sistema de congruencias. Que nadie se preocupe si no sabe lo que es una congruencia, porque luego lo explicaremos (por encima, eso sí). Hay un par de métodos comunes para resolver sistemas así, que se enseñan generalmente en los primeros cursos de las carreras de matemáticas, y hay un teorema que asegura que en ciertos casos puede encontrarse una solución: el teorema chino del resto. El nombre de este teorema se debe a que se averiguó que era conocido en China desde la antigüedad, aunque se descubrió independientemente en la cultura occidental. Antes de saber lo que dice, expliquemos lo que es una congruencia:

    Una congruencia es una expresión del tipo a == b (mod c) (he puesto == donde deberían ir tres rayitas horizontales, una encima de otra, porque no es un símbolo estándar), que no significa más que "a-b es divisible por c", o lo que es lo mismo, "a y b dan el mismo resto al dividirlos por c". La expresión anterior se dice que es una congruencia módulo c. Por ejemplo,

7 == 2 (mod 5),   porque tanto 7 como 2 dan resto 2 al dividirlos por 5.

-3 == 1 (mod 4), y en este caso (como no está uno acostumbrado a sacar restos de divisiones de números negativos) es más fácil ver que es cierto porque -3-1 = -4, que es divisible por 4.

Si nos dan un número (pongamos el 8), es muy fácil saber qué números son congruentes con él para cualquier otro módulo (por ejemplo 3). En este ejemplo, no hay más que sumar o restar de tres en tres a partir de 8: son el -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17...

    Pueden plantearse congruencias con objetos que no sean números: puede hacerse con polinomios, con enteros complejos, y en general con cualquier anillo, pero de eso no hablaremos aquí. Todas las congruencias que aparezcan serán con números enteros, y casi todas con naturales. 

    Ya podemos entender el planteamiento Javier López, que es como sigue:

[1]  Nace en un año bisiesto, de modo que 2001 - x == 0 (mod 4), o lo que es lo mismo,

    x == 1(mod 4) (Puesto que todos los años bisiestos son múltiplos de 4)

[2]  Se hace el carnet a los 18 y renueva cada 5 años, de manera que

    x == 18 == 3 (mod 5)

[3]  A los 17 años estuvo en Chiclana, donde va cada tres años, y este año le toca de nuevo, de modo que 

    x == 17 == 2 (mod 3)

Tenemos entonces las tres congruencias

    (a)   x == 1(mod 4)
    (b)   x == 3 (mod 5)
    (c)   x == 2 (mod 3)

    Esto último que se consigue es un sistema de congruencias. El problema de Amparo no consiste más que en resolverlo. Éste en particular usa números muy pequeños, y pocos datos, de forma que el resultado puede encontrarse por la cuenta de la vieja; sin embargo, cuando el problema es más complicado hace falta un método a seguir de forma que podamos estar seguros de llegar al resultado. Pero, ¡un momento!. ¿Cómo sabemos que hay alguna solución? Que nadie piense que este tipo de sistemas tienen siempre solución. Por ejemplo:

    x == 3 (mod 15)
    x == 4 (mod 10)
    ...no tiene ninguna solución.

    El Teorema Chino del Resto

    Y aquí llega el teorema chino del resto: una forma de expresarlo es que:

    "Cuando los módulos son primos entre sí dos a dos, el sistema de congruencias tiene una solución. Además, todas las soluciones son congruentes con ésa módulo el producto de los módulos de las ecuaciones del sistema".

    "Primos entre sí dos a dos" significa que cualquier par de módulos que tomemos de entre los que aparecen en el sistema no tiene ningún factor común. En el sistema de Javier López para el problema de Amparo, los módulos son 4, 5 y 3, que sí son primos entre sí dos a dos. El sistema de antes, el que no tenía solución, está buscado con mala idea usando unos módulos que no son primos entre sí (10 y 15 tienen como factor común a 5).

    Además, el T.C.R. nos dice que cuando encontremos una solución para la edad de Amparo, todas las demás resultan de ir sumando o restándole a esa de 60 en 60 (4 por 5 por 3 = 60).  Pero, ¿cómo encontrar una solución?. Lo haremos sólo como ejemplo en el problema de Amparo (congruencias (a), (b) y (c)), y espero que sea suficiente para ver cómo iría la solución en el caso general. Hay al menos otra forma técnica de encontrar la solución (usando la identidad de Bezout), pero ésta me ha parecido un poco más clara:

    Los módulos aquí son 4, 5 y 3.

  • Se olvida uno del primero y se multiplican los otros dos. Eso nos da 15. Se busca un número más pequeño que sea congruente con el 15 módulo el que hemos quitado antes, aquí el 4, para hacer las cuentas. Por ejemplo, el 3.

  • Ahora, usando este último 3, se busca un número n que cumpla que n*3 == 1 (mod 4). Esto puede hacerse por la condición de que los módulos sean primos entre sí dos a dos (podéis pensar por qué; no es tan fácil si uno no lo sabe). Como es una sola congruencia, no suele ser difícil calcularla a mano. En este caso, 3*3 = 9 == 1 (mod 4), así que obtenemos n=3.

  • Y por último se coge el número al que tenía que ser congruente x en la primera congruencia (aquí, el 1), y se multiplica por éste: 3*1 = 3. Nos acordamos del 3.

  • Ahora hay que repetir lo mismo para la segunda congruencia, y lo haremos un poco más rápido: quitamos el 5, y multiplicamos el 4 y el 3. Da 4*3=12. Tomamos 2, que es congruente con 12 (mod 5) y es más sencillo. Encontramos que 2*3 == 1 (mod 5), de forma que nos quedamos con el 3 y lo multiplicamos por 3, que es el número que aparece en la segunda congruencia. Eso da 9, y lo recordamos.

  • El mismo proceso en la tercera congruencia nos da 4.

    Finalmente, la solución se consigue multiplicando los números que hemos conseguido antes por los productos que conseguíamos quitando uno de los módulos (en el mismo orden) y sumándolos. Aquí, esos productos eran 15, 12 y 20:

    3*15 + 9*12 + 4*20 = 233

    Muy bien. Una solución es 223. Podemos pensar que seguramente Amparo no tendrá tantos años, así que empezamos a restar de 60 en 60 hasta obtener algo razonable: 53, por ejemplo. La siguiente solución es 113, claramente demasiado vieja, y la anterior es -7, que es bastante improbable. Por lo tanto concluimos que Amparo debía de tener 53 años.

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