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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ El truco de las veintiuna cartas. Solución
.: Juegos :.
El truco de las veintiuna cartas. Solución

    Ha habido varias respuestas a la primera pregunta, y todas dan la solución haciendo un recuento de las posibles posiciones de la carta ganadora. Por ejemplo, la explicación de Santiago A. Martín es la siguiente:

     “Funciona siempre por lo siguiente: al separar el primer montón y ponerlo al medio me aseguro que la carta elegida este dentro de las posiciones 8 a 14 dentro del mazo. De esa forma, al armar otra vez los montones, uno de ellos contendrá nuestra carta entre las posiciones 3 y 5 de dicho montón. Al poner el montón de  nuevo en el centro del mazo la carta estará siempre dentro de las posiciones 10 a 12 del mazo. Al armar nuevamente los montones las tres cartas de las posiciones 10 a 12 se ubicaran en la mitad de cada montón (posición 4). Luego al poner ese montón en la mitad del mazo, la carta queda en la posición 7 + 4=11.

    Nota: una variante del juego seria obviar la ultima mezcla de cartas. Cuando se selecciona por tercera vez el montón donde esta la carta, tomamos ese montón y ubicamos la cuarta carta.”

    También dan una respuesta parecida Romy Villarroel Santisteban, Arturo Paredes Martínez, Vicente L. Franco Blasco, Pascual Garrote y Alvaro del Río San Sebastián.

    La segunda pregunta era más difícil, y no he recibido ninguna demostración de otras posibles formas de realizar el truco. Aunque yo tampoco tengo una prueba, estrictamente hablando, voy a mostrar un método que puede convencernos de las posibles combinaciones de cartas y montones con las que se puede hacer.

    Llamaré n al número de cartas y m al número de montones en que se piensan repartir. Para poder repartir las cartas exactamente en los montones, m debe dividir a n; además, si queremos poner en medio uno de los montones, m debe ser impar, y por supuesto mayor que 1. Así, el menor número posible de montones es 3. Además, como queremos que la carta acabe estando en la mitad del mazo, n debe ser impar (si no, hay dos cartas que están en medio).

    Para expresar más fácilmente lo que viene a continuación, numeraremos las cartas del mazo, y de cada montón, de forma que la primera sea la 0. Esto es, que si decimos que la carta elegida está en la posición 4 del mazo, querremos decir que es la quinta (contando a partir de la 0, que es la primera). Igualmente, numeramos los mazos contando desde el 0 (hasta el m/n-1). Enseguida veremos por qué esto es conveniente.

    Supongamos que la carta elegida, al barajar, queda en la posición p. Entonces, el hecho de repartir las cartas en mazos no es, curiosamente, más que el hecho de dividir p por m para obtener el cociente y el resto. Pensando un poco, puede uno convencerse de que, al hacer los montones, ocurre que:

  •  La nueva posición de la carta elegida dentro de su montón es el cociente de dividir p por m.

  • El montón en que cae la carta elegida es aquél cuyo lugar es el resto de dividir p por m.

(Para esto era útil la numeración empezando por el 0). Sabiendo esto, después de poner el montón en el centro, su nueva posición dentro del mazo será:

  • nueva posición = (m-1)/2 * n/m + (cociente de dividir p por m)

(Porque a la posición dentro de su montón hay que sumarle todos las cartas de los montones que se le ponen delante, que son (m-1)/2 montones, con n/m cartas cada uno).

    Esta función de p, que puede parecer complicada, no es más que el cociente de p por m, más una constante. Si uno representa esta función para algunos valores válidos de n y m, puede ver que tiene forma de escalera, en la que cada peldaño sube una unidad y tiene una longitud de m unidades. Repetir el proceso de repartir las caras en montones y poner el elegido en el medio equivale a aplicar repetidamente esta función a p.

    Usando esto (por ejemplo, representando la función y aplicándola en el gráfico. Al lado está representada para n=21 y m=3. En el eje horizontal va p, y en el vertical la nueva posición.) es fácil obtener las siguientes consecuencias (para aquellos que lo conozcan, sorprendentemente, esto tiene un aire al teorema del punto fijo de Banach, y la función converge a su único punto fijo):

  •  La carta elegida siempre acaba estando, más pronto o más tarde, en la mitad del mazo, siempre que m y n cumplan las propiedades que hemos dicho al principio.

  • Después de 21, el siguiente posible número de cartas es 27, y 3 montones. Puede verse que en este caso, es posible que hiciera falta repartir los montones cuatro veces, lo que haría el juego más lento. El número de veces necesarias aumenta con el número de cartas.

  • Puede hacerse también con más montones. Por ejemplo, con 25 cartas y 5 montones sólo hace falta repartir en montones tres veces. Con el siguiente posible, 35 cartas y 5 montones, también basta con tres veces.

En conclusión: el truco puede hacerse con cualquier número impar de cartas y montones que nos permitan repartir las cartas en montones exactamente, con la desventaja de que puede que haga falta repartir más veces. Yo creo que la variante de 35 cartas y 5 montones no está mal, aunque hace el truco demasiado largo, tal vez. El que lo inventó eligió una combinación bastante buena de cartas y montones, es posible que la mejor.

Añadido del 28/11/2000

    Vicente Lorenzo observa sobre la anterior solución que:

    "El juego que se plantea es un caso particular de otro más general.
Se pide a un espectador que seleccione una carta entre un mazo de lm. A continuación, se dispone el mazo alternativamente en l PILAS de m cartas y se pide al espectador que indique cuál es la pila en la que se encuentra la carta seleccionada. Se recogen las l pilas de modo que aquélla que contiene la carta seleccionada ocupe el segundo lugar. Esta última operación se repita en otras dos ocasiones y si:

    [(m+h)/l] = [(m+k)/l] = p,
    siendo
    h = [m/l] y k=[(2m-1)/l],

donde los corchetes denotan la parte entera del cociente, la carta seleccionada aparecerá en el lugar p+1 del segundo montón.

    Para el caso que se plantea, 21 cartas en 3 pilas de 7 cartas, se tiene:

    l = 3, m = 7
    h =[7/3] = 2, k=[(2.7-1)/3] = 3
    [(m+h)/l] = [(7+2)/3] = 3, [(m+k)/l] = [(7+3)/3] = 3 => p = 3

y, en consecuencia, la carta seleccionada debe aparecer en el cuarto lugar
del segundo montón.

    Si se sigue el procedimiento anterior no es difícil encontrar otras combinaciones de los valores l y m que también permiten obtener los resultados buscados.

    Una discusión sobre la solución del problema propuesto y de otros relacionados con él se puede encontrar en las páginas 328-333 del excelente libro de W.W. Rouse Ball y H.M. Coxeter titulado "Mathematical Recreations an Essays" que fue publicado por Dover Publications Inc."

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